Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 373
b) Primer método
Empleando el inciso a) y el problema 14.29b), el error estándar de estimación de Y sobre X es
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s Y:X ¼ s Y 1 r 2 ¼ 1:636 1 ð0:9911Þ 2 ¼ 0:218 o bien 0.22
Segundo método
Usando el problema 14.29,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðY Yest Þ 2 unexplained variación no variation explicada 21:40 21:02
s Y:X ¼
¼
¼
¼ 0:218 o bien 0.22
N
N
8
Tercer método
Usando el problema 14.27 y el cálculo adicional ∑ Y 2 = 290.52, se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P P P Y
2
a
s Y:X ¼
0 Y a1 XY a2 X 2 Y
¼ 0:218 o bien 0.22
N
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN
14.31 En una muestra de tamaño 18, el coeficiente de correlación encontrado es 0.32. ¿Puede concluirse, a los niveles
de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, que el coeficiente de correlación poblacional correspondiente difiere de
cero?
SOLUCIÓN
Se debe decidir entre las hipótesis H 0 : ρ = 0 y H 1 : ρ > 0.
t ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2 0:32 18 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:35
1 r 2
1 ð0:32Þ 2
a) Empleando una prueba de una cola con la distribución de Student al nivel 0.05, H 0 se rechaza si t > t. 95 = 1.75 para
(18 − 2) = 16 grados de libertad. Por lo tanto, al nivel 0.05, no se rechaza H 0 .
b) Como al nivel 0.05 no se rechaza H 0 , seguramente tampoco se rechazará al nivel 0.01.
14.32 ¿Cuál será el mínimo tamaño de muestra necesario para que se pueda concluir, al nivel 0.05, que un coeficiente
de correlación 0.32 difiere significativamente de cero?
SOLUCIÓN
Empleando una prueba de una cola con la distribución de Student al nivel 0.05, el valor mínimo de N debe ser tal que
p
0:32 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ t :95
1 ð0:32Þ 2
para N − 2 grados de libertad. Para un número infinito de grados de libertad t. 95 = 1.64 y por lo tanto, N = 25.6.
p
Para N = 26: ν = 24 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
24 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:65
p
Para N = 27: ν = 25 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
25 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:69
p
Para N = 28: ν = 26 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
26 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:72
Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra es N = 28.