Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

318 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
En las ecuaciones anteriores, a las expresiones de los lados derechos se les conoce como polinomios de primero,
segundo, tercero, cuarto y n-ésimo grados, respectivamente. Las funciones definidas por las primeras cuatro ecuaciones
se llaman funciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas, en ese orden.
Las siguientes son algunas de las muchas otras funciones que se emplean en la práctica:
Hipérbola
Y ¼
1
a 0 þ a 1 X o bien 1
Y ¼ a 0 þ a 1 X (6)
Curva exponencial Y = ab X o bien log Y = log a + (log b)X = a 0 + a 1 X (7)
Curva geométrica Y = aX b o bien log Y = log a + b(log X ) (8)
Curva exponencial modificada Y = ab X + g (9)
Curva geométrica modificada Y = aX b + g (10)
Curva de Gompertz Y = pq b X o bien log Y = log p + b X (log q) = ab X + g (11)
Curva de Gompertz modificada Y = pq b X + h (12)
Curva logística
Y ¼
1
ab X þ g
o bien
1
Y ¼ abX þ g (13)
Y ¼ a 0 þ a 1 ðlog XÞþa 2 ðlog XÞ 2 (14)
Para saber cuál de estas curvas emplear, es útil obtener el diagrama de dispersión de las variables transformadas.
Por ejemplo, si el diagrama de dispersión de log Y contra X muestra una relación lineal, la ecuación será de la forma
(7), en tanto que si log Y contra log X muestra una relación lineal, la ecuación será de la forma (8). Como ayuda para
saber qué tipo de curva utilizar suele emplearse papel especial para graficar. Al papel para graficar en el que una de
las escalas está calibrada logarítmicamente se le conoce como papel semilogarítmico, y al papel en el que las dos
escalas están calibradas de manera logarítmica se le conoce como papel logarítmico.
MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS A MANO
Para trazar una curva de aproximación que se ajuste a los datos puede emplearse el criterio personal. A este método se
le llama ajuste de curva a mano. Si se sabe cuál es el tipo de ecuación, las constantes de la ecuación se determinan
eligiendo tantos puntos de la curva como constantes tenga la ecuación. Por ejemplo, si la curva es una línea recta, se
necesitarán dos puntos; si es una parábola, se necesitarán tres puntos. Este método tiene la desventaja de que personas
distintas encontrarán curvas y ecuaciones distintas.
LA LÍNEA RECTA
El tipo más sencillo de curva de aproximación es una línea recta, cuya ecuación puede escribirse como
Y = a 0 + a 1 X (15)
Dados dos puntos cualesquiera (X 1 , Y 1 ) y (X 2 , Y 2 ) de la recta, se determinan las constantes a 0 y a 1 . La ecuación que se
obtiene es
Y Y 1 ¼ Y
2 Y 1
ðX X
X 2 X 1 Þ o bien Y Y 1 ¼ mðX X 1 Þ (16)
1
donde m ¼ Y 2 Y 1
X 2 X 1
es la pendiente de la recta y representa el cambio o variación en Y dividido por un cambio o variación correspondiente
en X.