Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 309
SOLUCIÓN
a) Como en el problema 12.14, los resultados esperados, basándose en la hipótesis nula, se presentan en la tabla 12.17b).
Entonces,
2 ¼ ða 1 N 1 N A =NÞ 2
þ ða 2 N 2 N A =NÞ 2
N 1 N A =N N 2 N A =N
þ ðb 1 N 1 N B =NÞ 2
þ ðb 2 N 2 N B =NÞ 2
N 1 N B =N N 2 N B =N
Pero a 1
N 1 N A
N ¼ a 1
ða 1 þ b 1 Þða 1 þ a 2 Þ
¼ a 1b 2 a 2 b 1
a 1 þ b 1 þ a 2 þ b 2 N
De manera similar a 2
N 2 N A
N
son también igual a
Por lo tanto, se puede escribir
N
y b 1 N B
1
N
a 1 b 2 a 2 b 1
N
y b 2
N 2 N B
N
2 ¼
N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
þ N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
N 1 N A N N 2 N A N
þ
N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
þ N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
N 1 N B N N 2 N B N
de donde, simplificando, se obtienen 2 ¼ Nða 1b 2 a 2 b 1 Þ 2
N 1 N 2 N A N B
b) En el problema 12.14, a 1 = 75, a 2 = 25, b 1 = 65, b 2 = 35, N 1 = 140, N 2 = 60, N A = 100, N B = 100 y N = 200; entonces,
como se obtuvo antes,
2 ¼ 200½ð75Þð35Þ ð25Þð65ÞŠ2 ¼ 2:38
ð140Þð60Þð100Þð100Þ
Empleando la corrección de Yates se llega al mismo resultado que en el problema 12.15:
χ 2 (corregida) ¼ Nðja 1
1b 2 a 2 b 1 j
2 NÞ2 200½jð75Þð35Þ ð25Þð65Þj 100Š2
¼ ¼ 1:93
N 1 N 2 N A N B ð140Þð60Þð100Þð100Þ
12.20 A 900 hombres y 900 mujeres se les preguntó si deseaban que hubiera más programas federales de ayuda para
el cuidado de los niños. Cuarenta por ciento de las mujeres y 36 por ciento de los hombres respondieron que
sí. Probar con α = 0.05 la hipótesis nula de estos porcentajes iguales contra la hipótesis alternativa de estos
porcentajes diferentes. Mostrar que la prueba ji cuadrada para dos proporciones muestrales es equivalente a la
prueba de significancia para diferencias empleando la aproximación normal del capítulo 10.
SOLUCIÓN
Bajo la hipótesis H 0 ,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
P1 P 2
¼ 0 y P1 P 2
¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:38Þð0:62Þ
N 1 N 2
900 þ 1
¼ 0:0229
900
donde p se estima fusionando las proporciones de las dos muestras. Es decir,
p ¼
360 þ 324
¼ 0:38 y q = 1 − 0.38 = 0.62
900 þ 900
El estadístico de prueba para la aproximación normal es el siguiente:
Z ¼ P 1 P 2
P1 P 2
¼
0:40 0:36
¼ 1:7467
0:0229