Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 395
15.15 Si R 1.23 = 1, probar que: a) R 2.13 = 1 y b) R 3.12 = 1.
SOLUCIÓN
y
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 1:23 ¼
þ r2 13
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 2:13 ¼
þ r2 23
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 13
(29)
(30)
a) Haciendo en la ecuación (29), R 1.23 = 1 y elevando al cuadrado ambos lados, r 2 12 þ r 2 13 2r 12 r 13 r 23 ¼ 1 r 2 23.
Entonces
r 2 12 þ r 2 23 2r 12 r 13 r 23 ¼ 1 r 2 13 o bien
r 2 12 þ r 2 23 2r 12 r 13 r 23
1 r 2 13
¼ 1
Es decir, R 2 2:13 ¼ 1 y R 2.13 = 1, ya que el coeficiente de correlación múltiple se considera no negativo.
b) R 3.12 = 1 sigue del inciso a) intercambiando los subíndices 2 y 3 en la fórmula para R 2.13 = 1.
15.16 Si R 1.23 = 0, ¿implica necesariamente que R 2.13 = 0?
SOLUCIÓN
De acuerdo con la ecuación (29), R 2.13 = 0 si y sólo si
Entonces, de acuerdo con la ecuación (30) se tienen
lo cual no es necesariamente igual a cero.
r 2 12 þ r 2 13 2r 12 r 13 r 23 ¼ 0 o bien 2r 12 r 13 r 23 ¼ r 2 12 þ r 2 13
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 2:13 ¼
þ r2 23
ðr 2 12 þ r2 13 Þ r 2 23
r 2 13
1 r 2 ¼
13
1 r 2 13
CORRELACIÓN PARCIAL
15.17 Dados los datos del problema 15.3, calcular los coeficientes de correlación lineal parcial r 12.3 , r 13.2 y r 23.1 .
También determinar estos coeficientes empleando STATISTIX.
SOLUCIÓN
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
r
r 13:2 ¼ 13 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ
r
r 23:1 ¼ 23 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
13
ð1 r 2 12 Þð1 r2 13 Þ
Empleando los resultados del problema 15.5, se encuentra que r 12.3 = 0.5334, r 13.2 = 0.3346 y r 23.1 = 0.4580. Se concluye
que entre los niños de una misma edad, el coeficiente de correlación entre peso y estatura es 0.53; entre los niños de una
misma estatura el coeficiente de correlación entre peso y edad es 0.33. Como estos resultados se basan en una muestra
pequeña, de sólo 12 niños, no son tan confiables como si se obtuviesen de una muestra mayor.
Con la secuencia Statistics → Linear models → Partial Correlations se obtiene el cuadro de diálogo de la figura
15-4. Este cuadro se llena como se indica en la figura. Se busca r 12.3 . El resultado es el siguiente.
Statistix 8.
Partial Correlations with X1
Controlled for X3
X2 0.5335