Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

LA PRUEBA JI CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE 295
La distribución muestral de χ 2 se puede aproximar con bastante exactitud mediante la distribución ji cuadrada
Y ¼ Y 0 ð 2 Þ 1=2ð 2Þ e 1=22 ¼ Y 0 2 e 1=22 (4)
(vista en el capítulo 11) si las frecuencias esperadas son mayores o iguales a 5. La aproximación mejora cuanto mayores
sean estos valores.
El número de grados de libertad, ν, es
1. ν = k − 1 si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin tener que estimar parámetros poblacionales a partir de
estadísticos muestrales. Obsérvese que a k se le resta 1 debido a la condición restrictiva (2), que establece que conociendo
k − 1 de las frecuencias esperadas, queda determinada la frecuencia restante.
2. ν = k − 1 − m si las frecuencias esperadas sólo pueden calcularse estimando m parámetros poblacionales a partir
de estadísticos muestrales.
PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA
En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan basándose en la hipótesis H 0 . Si de acuerdo con esta hipótesis el
valor calculado para χ 2 , mediante las ecuaciones (1) o (3) es mayor a algún valor crítico (por ejemplo, 2 :95 o 2 :99, que
son los valores críticos para los niveles de significancia 0.05 y 0.01, respectivamente), se concluye que las frecuencias
observadas difieren en forma significativa de las frecuencias esperadas y se rechaza H 0 al correspondiente nivel de
significancia; si no es así, se acepta H 0 (o por lo menos no se rechaza). A este procedimiento se le conoce como prueba
ji cuadrada de hipótesis o de significancia.
Es necesario notar que hay que tener desconfianza de aquellas circunstancias en las que χ 2 tenga un valor demasiado
cercano a cero, pues es raro que exista una coincidencia tan buena entre las frecuencias observadas y las frecuencias
esperadas. Para examinar tales situaciones se determina si el valor obtenido para χ 2 es menor a 2 :05 o a 2 :01,
en cuyo caso se decide que a los niveles de significancia 0.05 o 0.01, respectivamente, la coincidencia es demasiado
buena.
LA PRUEBA JI CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE
La prueba chi cuadrada puede emplearse para determinar qué tan bien se ajustan una distribución teórica (por ejemplo,
la distribución normal o la distribución binomial) a una distribución empírica (es decir, a una distribución obtenida a
partir de datos muestrales). Ver los problemas 12.12 y 12.13.
EJEMPLO 1 Un par de dados se lanzan 500 veces y las sumas de las caras que caen hacia arriba son las que se muestran en la
tabla 12.2.
Tabla 12.2
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observada 15 35 49 58 65 76 72 60 35 29 6
Los números esperados, si el dado no está cargado, se determinan a partir de la distribución de x y son los que se muestran
en la tabla 12.3.
Tabla 12.3
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
En la tabla 12.4 se presentan las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas.
Tabla 12.4
Observada 15 35 49 58 65 76 72 60 35 29 6
Esperada 13.9 27.8 41.7 55.6 69.5 83.4 69.5 55.6 41.7 27.8 13.9