Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

320 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
donde las constantes a 0 y a 1 se determinan resolviendo las ecuaciones simultáneas
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X
2
(18)
a las que se les denomina ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados (17). Las constantes a 0 y a 1 de las
ecuaciones (18) pueden hallarse empleando las fórmulas
a 0 ¼ ðP YÞð P X 2 Þ ð P XÞð P XYÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 (19)
Para recordar las ecuaciones normales (18) hay que observar que la primera ecuación se obtiene formalmente
sumando a ambos lados de la ecuación (17) [es decir, P Y ¼ P P
ða 0 þ a 1 XÞ¼a 0 N þ a 1 XŠ y la segunda ecuación
se obtiene multiplicando, primero, ambos lados de la ecuación (17) por X y después sumando [es decir, P P P P
XY ¼
Xða0 þ a 1 XÞ¼a 0 X þ a1 X 2 Š. Obsérvese que no se trata de una deducción de las ecuaciones normales,
sino simplemente de una manera que facilita recordarlas. Obsérvese también que en las ecuaciones (18) y (19) se ha
empleado la notación abreviada P X, P X Y, etc., en lugar de P N
j¼1 X j, P N
j¼1 X jY j , etcétera.
El trabajo que implica hallar la recta de mínimos cuadrados puede reducirse transformando los datos de manera
que x ¼ X X y y ¼ Y Y. Entonces, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados puede escribirse de la manera
siguiente (problema 13.15):
P xy
y ¼ P x
2
x o bien y ¼
P xY
P x (20)
x
2
En particular, si X es tal que P X ¼ 0 (es decir, X ¼ 0), la ecuación se convierte en
P XY
Y ¼ Y þ P X (21)
X
2
La ecuación (20) implica que y = 0 para x = 0; por lo tanto, la recta de mínimos cuadrados pasa por el punto ð X, YÞ,
al que se le llama el centroide o centro de gravedad de los datos.
Si se considera que la variable X es la variable dependiente en lugar de la variable independiente, la ecuación (17)
se escribe X = b 0 + b 1 Y. Las fórmulas anteriores también son válidas cuando se intercambian X y Y, y a 0 y a 1 se sustituyen
por b 0 y b 1 , respectivamente. Sin embargo, por lo general la recta de mínimos cuadrados que se obtiene no es
la misma que la que se obtuvo antes [ver problemas 13.11 y 13.15d )].
RELACIONES NO LINEALES
Algunas veces, las relaciones no lineales pueden reducirse a relaciones lineales mediante transformaciones adecuadas
de las variables (ver problema 13.21).
LA PARÁBOLA DE MÍNIMOS CUADRADOS
La parábola de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ),...,(X N , Y N ) tiene la ecuación
Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 (22)
donde las constantes a 0 , a 1 y a 2 se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones
P P P Y ¼ a0 N þ a 1 X þ a2 X
2
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X 2 P
þ a 2 X
3
P X 2 Y ¼ a 0
P X 2 þ a 1
P X 3 þ a 2
P X
4
(23)
llamadas ecuaciones normales de la parábola de mínimos cuadrados (22).