Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

156 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
SOLUCIÓN
Como sólo hay 3 pelotas negras, alguna de las personas deberá ganar en el primer intento. Sean A, B, C y D los eventos “A
gana”, “B gana”, “C gana” y “D gana”, respectivamente.
Por lo tanto, la esperanza de A ¼ 2 5
ð$10Þ ¼$4.
Pr{A gane} ¼ PrfAg ¼ 2
3 þ 2 ¼ 2 5
Pr{A pierda y B gane} ¼ Prf ABg ¼Prf Ag PrfBj Ag ¼ 3 5
2
4
¼ 3
10
Por lo tanto, la esperanza de B = $3.
2 2
4 3
Pr{A y B pierdan y C gane} ¼ Prf A BCg ¼Prf Ag Prf Bj Ag PrfC A Bg ¼ 3 5
¼ 1 5
Por lo tanto, la esperanza de C = $2.
Pr{A, B y C pierdan y D gane} ¼ Prf A B C Dg
Por lo tanto, la esperanza de D = $1.
Comprobación: $4 + $3 + $2 + $1 = $10 y 2 5 þ 3
10 þ 1 5 þ 1 10 ¼ 1.
¼ Prf Ag Prf Bj Ag Prf Cj A Bg PrfDj A B Cg
¼ 3
2 1 1
¼ 1 5 4 3 1 10
PERMUTACIONES
6.17 ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en línea 5 canicas de colores diferentes?
SOLUCIÓN
Hay que ordenar las cinco canicas en cinco posiciones: − − − − −. La primera posición puede ser ocupada por cualquiera
de las 5 canicas (es decir, hay 5 maneras de ocupar la primera posición). Hecho esto, hay 4 maneras de ocupar la segunda
posición; a continuación hay 3 maneras de ocupar la tercera posición; 2 maneras de ocupar la cuarta posición y, por último,
sólo una manera de ocupar la última posición. Por lo tanto:
En general,
Número de maneras en que se pueden colocar las cinco canicas en línea = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120
Número de maneras en las que se pueden colocar n objetos diferentes en línea = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ 1 = n!
A esto se le conoce como el número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de n en n y se denota n P n .
6.18 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en una banca en la que sólo hay 4 asientos disponibles?
SOLUCIÓN
Hay 10 maneras de ocupar el primer asiento; hecho esto, hay 9 maneras de ocupar el segundo asiento; 8 maneras de ocupar
el tercer asiento, y 7 maneras de ocupar el cuarto asiento. Por lo tanto:
En general,
Número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5 040
Número de ordenaciones de n objetos diferentes tomados de r en r = n(n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1)