Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 95Primetimo da Gauss-Seidelove iteracije (varijanta Nekrasova), u ovom slučaju,brže konvergiraju ka tačnom rešenju x ∗ , nego one generisane pomoću Jacobievogmetoda.4.2.11. Dat je sistem linearnih jednačina Ax = b, gde su[ ] [ ]4 51A = , b = .5 10−1Pokazati da se ovaj sistem može rešavati Gauss–Seidelovim metodom (varijantaNekrasova), iako matrica A nije strogo dijagonalno dominantna.Rešenje. Matrica A nije strogo dijagonalno dominantna. No pokažimo daje ispunjen potreban i dovoljan uslov za konvergenciju Gauss–Seidelovog metoda(varijanta Nekrasova). Da bismo ispitali spektralne uslove (videti [1, str. 265])rešimo jednačinu4λ 5˛˛˛˛˛ 5λ 10λ ˛ = 0.Dobijamo sopstvene vrednosti λ 1 = 0, λ 2 = 0.625. Dakle |λ 1,2 | < 1 pa Gauss–Seidelov metod (varijanta Nekrasova) za dati sistem jednačina konvergira.Konvergenciju ovog metoda možemo konstatovati i na osnovu toga što je matricaA simetrična, tj. A ⊤ = A i pozitivno definitna (videti [1, str. 266]), tj.a 11 = 4 > 0,˛ a11 a 12a 21 a 22˛˛˛˛ = 15 > 0.4.2.12. Rešiti sistem linearnih jednačina oblika Ax = b, gde su⎡⎤4 −1 0 2⎢ −1 10 2 −1 ⎥A = ⎣⎦ , b = [7 − 10 4 7] ⊤ ,0 2 7 −12 −1 −1 5metodom suksesivne gornje relaksacije za ω = 0.4h, h = 1,2,3,4.Rešenje. Matrica A za dati sistem linearnih jednačina je simetrična (A = A ⊤ )i pozitivno definitna jer su sve determinantea 11 = 4,˛ a11 a 12a 11 a 12 a 13a 21 a 22˛˛˛˛ = 39,a 21 a 22 a 23 = 257, det (A) = 990˛ a 31 a 32 a 33˛˛˛˛˛˛pozitivne. Na osnovu teoreme 3.5.2 (videti [1, str. 273–274]) metod suksesivnegornje relaksacije za ovaj sistem linearnih jednačina će konvergirati za ω ∈ (0,2),dakle, i za vrednosti ω date u zadatku.