Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 11S ozirom da su približne vrednosti argumenata nastale zaokruživanjem tačnih,imamo(2) |e x | ≤ 0.5 · 10 −2 , |e y | ≤ 0.5 · 10 −2 , |e z | ≤ 0.5 · 10 −2 .Sva izračunavanja na računskoj mašini se sastoje iz konačnog broja elementarnihoperacija (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje). Izračunavanje u = √ z, kojese pojavljuje pri izračunavanju funkcije f se takod¯e, u računskoj mašini odvijapreko elementarnih operacija (po odred¯enom postupku – algoritmu), pri čemutotalnu relativnu grešku za izračunavanje u = √ z, koja nastaje kao posledicatoga što na mesto tačne vrednosti z u izračunavanje ulazi približna vrednost z,kao i greške koju unosi algoritam po kome se izračunava koren √ od zadatogargumenta 4) , možemo predstaviti pomoćur T u = 1 2 r z + r,gde je r z relativna greška približnog broja z koji ulazi u izračunavanje na mestostvarne vrednosti z, a r je greška koju možemo smatrati ekvivalentom relativnojmašinskoj greški (videti [1. str. 16]).Sada, graf greške (videti [1. str.11–16]) za izračunavanje izrazaf = x2 + y √ zx + 2yna računskoj mašini, izgleda kao na slici 1, pri čemu su relativne mašinske greškeodgovarajućih operacija označene sa r i (i = 1, . . . , 7). Na osnovu grafa dobijamototalnu relativnu grešku izraza f:jrf T = 1 ·x 2x 2 + y √ z (1 · r x + 1 · r x + r 1 ) ++ 1 · r y + r 3 ] + r 4 } + (−1) ·» 2yx + 2y (r y + r 5 ) +y√ » „ «z 1x 2 + y √ 1 ·z 2 r z + r 2x –x + 2y r x + r 6 + r 7 .S obzirom na uslove zadatka možemo smatrati da su relativne mašinske grešker i (i = 1, . . . ,7) zanemarljive u odnosu na greške r x , r y i r z , pa ćemo uzeti dasu r i = 0 (i = 1, . . . ,7). Time praktično isključujemo uticaj računske mašine natotalnu grešku u krajnjem rezultatu, tj. isključujemo uticaj greške zaokrugljivanjamed¯urezultata, koja se neminovno pojavljuje s obzirom da računar radi sa brojevimasa konačnom mantisom (videti zadatak 2.1.1). Naravno, u ovom slučajuje to opravdano jer je tačnost mašine mnogo veća od tačnosti početnih podataka.Dakle, dobićemo grešku koja je posledica približnih vrednosti početnih podataka.4) Algoritam se tako definiše da on čini grešku na nivou mašinske greške.