Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 109Što se tiče konvergencije jednog i drugog metoda možemo reći sledeće. Metodsečice, ukoliko su x 0 i x 1 uzeti iz dovoljno bliske okoline tačke x = a, brže konvergiraka rešenju od metoda regula falsi. No brzina konvergencije je lokalno svojstvometoda. Što se tiče globalnih svojstava, metod regula falsi konvergira za svako x 0i x 1 sa segmenta [α, β] (f(x 0 ) f(x 1 ) < 0) što nije uvek slučaj sa metodom sečice.Rešimo sada jednačinu f(x) = x 2 − e x + 2 = 0, sa tačnošću ε = 10 −4 , koja imaprost koren na segmentu [1, 2] (f(1) > 0, f(2) < 0).Startujući sa x 0 = 1 i x 1 = 2, metodom sečice i metodom regula falsi dobijamonizove iteracija koji su dati u drugoj i trećoj koloni priložene tabele.metod sečice regula falsik x k x k0 1. 1.1 2. 2.2 1.16861 1.168613 1.24873 1.248734 1.32745 1.286445 1.31867 1.304006 1.31907 1.312137 1.31907 1.315888 1.317609 1.3184010 1.3187611 1.3189312 1.31901Vidimo da se metodom sečice dobija a ∼ = 1.31907. Metod regula falsi (2) konvergirasporije. Kako je |x 12 − x 11 | = 8 · 10 −5 < ε možemo uzeti a ∼ = 1.31901.5.1.8. Odrediti red konvergencije r i asimptotsku konstantu greške C rNewtonovog metoda, za rešavanje nelinearnih jednačina oblika f(x) = 0,koje na segmentu [α,β] imaju izolovan jedinstven prost koren x = a, zaslučaj da je f ′′ (a) = 0 i f ∈ C 3 [α,β].Rešenje. Na osnovu iterativne funkcije Newtonovog metodaimamoϕ(x) = x − f(x)f ′ (x) ,(1) ϕ(x) − a = (x − a) f ′ (x) − f(x)f ′ (x),