Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

152 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAzaključujemo da jeQ `xi − x j´det G =i>jnQP (x i )i=1≠ 0 ,s obzirom da su čvorovi x k med¯usobno različiti.U specijalnom slučaju, kada je P(x) ≡ 1, det G se svodi samo na Vandermondeovudeterminantudet G = Y i>j`xi − x j´≠ 0 .6.1.2. Ako su a k (k = 1,... ,n) med¯usobno različiti pozitivni brojevi,dokazati da je sistem funkcija{1,}1a 1 + x ,... , 1a n + xČebiševljev sistem na [0,+∞).1Rešenje. Stavimo Φ 0 (x) = 1, Φ k (x) = (k = 1, . . . , n). Dokaz ćemoa k + xsada izvesti drugačije u odnosu na prethodni zadatak. Naime, iskoristićemo tvrd¯enjeteoreme 2.1.1 iz [2, str. 11], prema kome je sistem funkcija Čebiševljev, akosu sve Wronskyeve determinanteW k =˛Φ 0 (x) Φ 1 (x) · · · Φ k (x)Φ ′ 0(x) Φ ′ 1(x) Φ ′ k (x).Φ (k)0(x) Φ(k)1(x) Φ(k)k (x) ˛˛˛˛˛˛˛˛˛(k = 0,1, . . . , n)različite od nule. U našem slučaju za k = 0 i k = 1 imamo1W 0 = Φ 0 (x) = 1 , W 1 =˛ 01a 1 + x1(a 1 + x) 2 ˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛1= −(a 1 + x) 2 .