Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

26 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEgde smo iskoristili (bezopasnu) aproksimaciju ‖y‖ ≈ ‖y‖. Korišćenjem (15),imamo za prvi izraz na desnoj strani u prethodnoj nejednakosti nalazimo‖y A − y‖‖y‖= ‖f A(x) − f(x)‖‖f(x)‖≤ (condf)(x) · ‖x A − x‖‖x‖= ‖f(x A) − f(x)‖‖f(x)‖= (condf)(x) · (condA)(x) · eps .Slično, a drugi izraz imamo‖y − y‖‖y‖=‖f(x) − f(x)‖‖f(x)‖≤ (condf)(x) ·‖x − x‖‖x‖= (condf)(x) · ε .Pretpostavljajući, najzad, da (condf)(x) ≈ (condf)(x), dobijamo(16)‖y A − y‖‖y‖≤ (condf)(x)ˆε + (condA)(x) · eps˜ .Formula (16) pokazuje koliko greške u ulaznim podacima (ε) i mašinska preciznost(eps) doprinose totalnoj greški: obe su uvećane uslovljenošću problema, dok jedruga uvećana i uslovljenošću algoritma.Literatura:W. Gautschi: Numerical Analysis, An Introduction. Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1997.2.1.9. Data je algebarska jednačina(1) x n + x n−1 − a = 0, a > 0, n ≥ 2.a) Pokazati da postoji tačno jedan pozitivan koren ξ(a) jednačine (1).b) Pokazati da je koren ξ(a) dobro uslovljen kao funkcija od a.Rešenje. a) Neka je p(x) = x n + x n−1 − a. Tada jep ′ (x) = nx n−1 + (n − 1)x n−2 = x n−2 (nx + n − 1) > 0 za x > 0.S obzirom da je p(0) = −a < 0, p(+∞) > 0, postoji tačno jedan pozitivan korenjednačine (1).b) Kako je[ξ(a)] n + [ξ(a)] n−1 − a ≡ 0,