Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

122 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIgde je u(x) = f(x)/f ′ (x).Odrediti red konvergencije i asimptotsku konstantu greške C r datog iterativnogprocesa, ako je funkcija f dovoljan broj puta neprekidno diferencijabilnana segmentu [c,d].Rešenje. Neka je e = x − a. S obzirom na jednakostiu(x) = f(x)f ′ (x) = f(a) + f ′ (a)e + 1 2 f ′′ (a)e 2 + 1 6 f ′′′ (a)e 3 + O(e 4 )f ′ (a) + f ′′ (a)e + 1 2 f ′′′ (a)e 2 + O(e 3 )f ′′f ′′′e + 1 2 f=′ e2 + 1 6 f ′ e3 + O(e 4 )1 + f ′′f ′ e + 1 f ′′′2 f ′ e2 + O(e 3 )=“e + 1 f ′′2= e − 1 2f ′ e2 + 1 6f ′′f ′ e2 +f ′′′f ′ e3 + O(e 4 )„− 1 f ′′′3 f ′ + 1 f ′′ 22= e + αe 2 + βe 3 + O(e 4 ),f ′ 2”“1 − f ′′f ′ e − 1 2«e 3 + O(e 4 )v = e − 2 3 u = e − 2 3 e − 2 3 αe2 − 2 3 βe3 + O(e 4 ),f ′′′f ′ e2 + f ′′ 2”f ′ 2 e2 + O(e 3 )f ′“ x − 2 ”3 u = f ′ (a) + f ′′ (a)v + 1 2 f ′′′ (a)v 2 + O(v 3 )= f ′ (a) + 1 “3 f ′′ (a)e + − 2 3 αf ′′ (a) + 1 ”18 f ′′′ (a) e 2 + O(e 3 )= f ′ (a) + pe + qe 2 + O(e 3 ),f(x)f(a) + f ′ (a)e + 1“f ′ x − 2 ” =2 f ′′ (a)e 2 + 1 6 f ′′′ (a)e 3 + O(e 4 )3 u f ′ (a) + pe + qe 2 + O(e 3 )e + 1 f ′′2 f=′ e2 + 1 f ′′′6 f ′ e3 + O(e 4 )1 + p f ′ e + q f ′ e2 + O(e 3 )h= e+ 1 f ′′2f ′ e2 + 1 6“ 1 f ′′= e +2 f ′ − p ”f ′ e 2 += e + Ae 2 + Be 3 + O(e 4 ),f ′′′f ′ e3 + O(e 4 )ih1 − p f ′ e − q f ′ e2 + p2“ 1 f ′′′6 f ′ − 1 pf ′′2 f ′ 2 − q f ′ + p2f ′ 2if ′ 2 e2 + O(e 3 )”e 3 + O(e 4 )