Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

150 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIRešenje. U novije vreme razrad¯en je veliki broj metoda za simultano (istovremeno)odred¯ivanje svih korena algebarske jednačine(1) P(x) = x n + a 1 x n−1 + · · · + a n−1 x + a n ,gde su a i (i = 1, . . . , n), u opštem slučaju, kompleksni koeficijenti.Jedan od metoda za simultano nalaženje nula polinoma (1), čije su nule med¯usobnorazličite, dat je sa(2) x i (k + 1) = x i (k) −nQm=1m≠iP (x i (k))(x i (k) − x m (k))(i = 1, . . . , n; k = 0,1, . . . )(videti [1, str. 417–419]). Iterativni proces (2) ima kvadratnu konvergenciju.Jedna od mogućih modifikacija metoda (2), koja zahvata manje memorijskogprostora kod realizacije na računskim mašinama, je varijanta koja koristi idejuGauss–Seidelovog metoda (u trenutku izračunavanja vrednosti x i (k + 1) poznatesu vrednosti x 1 (k+1), x 2 (k+1), . . . , x i−1 (k+1) koje su tačnije, u opštem slučaju,od vrednosti x 1 (k), . . . , x i−1 (k))(3) x i (k + 1) = x i (k) −i−1 Qm=1P(x i (k))nQ(x i (k) − x m (k + 1))m=i+1(x i (k) − x m (k))Primenom procesa (2) i (3) na rešavanje jednačine postavljene zadatkom, uzkorišćenje datih startnih vrednosti, dobijeni su sledeći rezultati:metod (2)k x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k)0 −1.1 0.9 1.91 −0.991500000 1.004500000 1.9870000002 −1.000017852 0.999921041 2.0000968113 −1.000000000 0.999999992 2.000000008metod (3)k x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k)0 −1.1 0.9 1.91 −0.991500000 1.010494317 2.0014772252 −0.999951270 1.000015390 1.9999999533 −1.000000000 1.000000000 2.000000000Primetimo da su tačne vrednosti korena x 1 = −1, x 2 = 1, x 3 = 2..