Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 27diferenciranjem dobijamogde jeξ ′ (a) ===n[ξ(a)] n−1 ξ ′ (a) + (n − 1)[ξ(a)] n−2 ξ ′ (a) − 1 = 0,1n[ξ(a)] n−1 + (n − 1)[ξ(a)] n−2 =ξ(a)n[ξ(a)] n + (n − 1)(a − [ξ(a)] n )ξ(a)(n − 1)a + [ξ(a)] n .Dakle (videti (4) u zadatku 2.1.8),(cond ξ)(a) = ˛˛aξ′ (a)ξ(a) ˛ =1=n − 1 + [ξ(a)]naξ(a)n[ξ(a)] n + (n − 1)[ξ(a)] n−1a(n − 1)a + [ξ(a)] n< 1n − 1 ≤ 1 .2.1.10. U teoriji Fourierovih redova brojevi(1) λ n =12n + 1 + 2 πn∑k=11k tan kπ2n + 1(n ∈ N),su poznati kao Lebesgueove konstante.a) Pokazati da izrazi pod sumom monotono rastu po k. Kako se ti izraziponašaju kada je n veliko, a k blisko broju n?b) Korišćenjem odgovarajućih FORTRAN programa u aritmetici obične preciznosti(S-aritmetika) i aritmetici dvostruke preciznosti (D-aritmetika) 7) ,izračunati λ n za n = 1,10,10 2 ,... ,10 5 , uporediti dobijene rezultate i datiobjašnjenje za takve rezultate.Rešenje. a) Neka je x = kπ/(2n + 1), tako da je 0 < x < π/2 za 1 ≤ k ≤ n.Onda je, do na konstantni faktor, opšti član sumef(x) = 1 tan x.x7) Na engleskom: single arithmetic i double precision arithmetic.