Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

280 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAi (−1) n+k = (−1) n−k `i n´n−k =`nk´, na osnovu prethodnog zaključujemo davaži H k = H n−k (k = 0, 1, . . . , [n/2]).Kod kvadraturnih formula sa n + 1 fiksiranih čvorovaa ≤ x 0 < x 1 < · · · < x n ≤ bkoeficijente A k obično odred¯ujemo integracijom interpolacionog polinoma konstruisanogna skupu podataka (x k , f(x k )) (k = 0, 1, . . . , n) (videti [2, str. 138–139]).Algebarski stepen tačnosti ovako dobijene kvadraturne formule je, najčešće, p=n.Na osnovu dokazane jednakosti o simetričnosti Newton–Cotesovih koeficijenata, uslučaju kada je n paran broj možemo zaključiti da je algebarski stepen tačnostiodgovarajuće formule jednak p=n+1. Za ovo je dovoljno dokazati da se ostatakZ bnXR n+1 (f) = f(x)dx − (b − a) H k f (x k ) ,agde je x k = a + kh (k = 0, 1, . . . , n), h = b − an , n = 2m i H k odred¯eni sa (1),anulira za neki polinom stepena n + 1. Takav polinom je„f(x) = x − a + b « n+1,2za koji jeZ bak=0„ « 2m+1 „ « 2m+1 b − a kf(x)dx = 0 , f (x k ) =2 m − 1 .Kako je f (x m ) = 0, f (x k ) = −f (x 2m−k ) i H k = H 2n−k , zaključujemo da jeR n+1 (f) = 0. Naravno, poslednja jednakost važi za svaki polinom ne višeg stepenaod n + 1, jer se proizvoljni polinom (n + 1)–og stepena može predstaviti u obliku„Q n+1 (x) = a n+1 x − a + b « n+1+ Q n (x),2gde je Q n polinom ne višeg stepena od n. Kako je„R n+1 (Q n+1 ) = a n+1 R n+1 x − a + b « ! n+1+ R n+1 (Q n )2i R n+1 (Q n ) = 0, zaključujemo da je R n+1 (Q n+1 ) = 0. Na primer, Simpsonovaformula (videti [2, str. 142]),Z baf(x)dx = b − a6„f(a) + 4f„ a + b2« «+ f(b) + R 3 (f),koja se dobija za n = 2 ima algebarski stepen tačnosti p = 3.