Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

244 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAKoristeći se dobijenim rezultatom naći aproksimaciju u obliku y = ae bxza sledeći skup podataka {(1,7), (2,11), (3,17), (4,27)}.Rešenje. Slično kao u zadatku 6.2.19 imamoX =2641 11 21 31 43» –75 , a = a0, f =a 1Tada je sistem normalnih jednačina X ⊤ Xa = X ⊤ f, tj.» – » –4 10 a0· =10 30 a 1odakle nalazimo a 0 = 1.5 i a 1 = 0.448.» –10.48,28.442641.952.402.833.30Da bismo odredili parametre a i b u aproksimacionoj funkciji y = ae bx metodomnajmanjih kvadrata potrebno je minimizirati funkciju(2) F(a,b) =tj.3X `fk − a e bx ´2 k ,k=0375 .F(a,b) = `7 − ae b´2 +`11 − ae2b´2 +`17 − ae3b´2 +`27 − ae4b´2 ,što ponekad može biti veoma komplikovano, jer je potrebno rešiti sistem nelinearnihjednačina. U našem slučaju, ovaj sistem jednačina ima oblik(3)∂F3X∂a = 2 `fk − ae bx ´`−e k bx ´ k = 0 ,k=0∂F3X∂b = 2 `fk − ae bx ´`−a kx k e bx ´ k = 0 .k=0Problem se može jednostavno približno rešiti, med¯utim, kao što ćemo videti,greška može biti ponekad i dosta velika. Logaritmovanjem aproksimacione funkcijedobijamo log y = log a + bx. Ako uvedemo smene Y = log y, X = x, a 0 =log a, a 1 = b, problem se svodi na odred¯ivanje parametara u linearnoj aproksimacionojfunkciji za skup podataka (X j , Y j ) = (x j ,log y j ) (j = 0, 1,2,3). Logaritmovanjemdatih podataka i zaokrugljivanjem na dve decimale dobijamo, upravo,skup podataka datih u (1). Prema tome, imamo(4) a = e a 0= e 1.5 ∼ = 4.48 i b = a1 = 0.448 .