Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 223na osnovu (2), imamo a 0 = 83π , a 2 = − 3215π , a 4 = − 128105π .Dakle, aproksimaciona funkcija Φ je data saΦ(x) = 83π − 32 „x 2 − 1 «− 128 „x 4 − 3 15π 4 105π 4 x2 + 1 «16= 328105π − 128 “ 105π x2 1 + x 2” .Rešenje 2. Predstavimo aproksimacionu funkciju Φ u oblikuΦ(x) =mXC k S k (x),k=0gde su S k Čebiševljevi polinomi druge vrste koji su ortogonalni na segmentu [−1, 1]sa težinom x ↦→ p(x) = √ 1 − x 2 . S obzirom na tu činjenicu, koeficijente C kodred¯ujemo na osnovu(3) C k = (f, S k)(S k , S k )(k = 0,1, . . . , m) ,gde je skalarni proizvod u prostoru L 2 (−1,1) definisan sa(f, g) =Kako je S k (x) =Z 1−1p1 − x 2 f(x)g(x)dx (f, g ∈ L 2 (−1, 1)).sin ((k + 1) arccos x)√1 − x 2ina osnovu (3) imamoC k = 2 πZ 1−1Uvod¯enjem smene x = cos θ, dobijamoC k = 2 π= 2 π= 1 π= 1 πZ π0Z π0Z πsin(k + 1)θ sin 2 θ dθ(S k , S k ) = ‖S k ‖ 2 = π 2 ,p1 − x 2 sin ((k + 1)arccos x) dx.sin(k + 1)θ 1 − cos2θ dθ2sin(k + 1)θ dθ − 1 Z π[sin(k + 3)θ + sin(k − 1)θ] dθ02π 0"#1 − (−1) k+1− 1 1 − (−1) k+3+ 1 − (−1)k−1k + 1 2π k + 3 k − 1(k ≠ 1)