Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 93gde suB =» – » –0.5 12, β = .−1.25 −1.5 0Na osnovu norme iterativne matrice, u zadatku 4.2.3, dobijeni su potrebni usloviza konvergenciju metoda proste iteracije i oni nisu ispunjeni jer su sve norme(‖ · ‖ 1 , ‖ · ‖ 2 , ‖ · ‖ ∞ ) matrice B veće od jedinice. Ipak, dati sistem jednačinamoguće je rešiti metodom proste iteracije jer je ̺(B) = 0.7071 < 1.Med¯utim, Gauss–Seidelov metod nije konvergentan jer je jedan od korena jednačine0.5 − λ 1P(λ) =˛ −1.25λ −1.5 − λ ˛ = λ2 + 2.25λ − 0.75 = 0po modulu veći od jedinice (λ 1∼ = 0.29473, λ2 ∼ = −2.54473).4.2.9. Pokazati da se sistem linearnih jednačina oblika x = Bx + β, gdesu[ ] [ ]3 −31B = , β = ,1 0.1 2može rešiti Gauss–Seidelovim, a ne može rešiti metodom proste iteracije.Rešenje. Norme ‖ · ‖ 1 , ‖ · ‖ 2 , ‖ · ‖ ∞ matrice B su veće od jedinice pa dovoljniuslovi na osnovu ovih normi nisu ispunjeni.Sopstvene vrednosti matrice B dobijamo rešavanjem karakteristične jednačine3 − λ −3˛ 1 0.1 − λ ˛ = λ2 − 3.1λ + 3.3 = 0.Imamo λ 1,2 = 1.55 ± 0.9474 i, a spektralni radijus ̺ = |λ 1 | = |λ 2 | = 1.816 > 1.Dakle, metod proste iteracije za dati sistem jednačina divergira.U slučaju Gauss-Seidelovog metoda rešavamo jednačinu3 − λ −3˛ λ 0.1 − λ ˛ = λ2 − 0.1λ + 0.3 = 0,za koju dobijamo λ 1,2 = 0.05 ± 0.5454 i. Dakle, |λ 1 | = |λ 2 | = 0.5477 < 1, tj.Gauss-Seidelov metod za dati sistem jednačina je konvergentan.4.2.10. Pokazati da se sistem linearnih jednačinaAx = b,