Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

52 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAU prostoru R k ∞, pak, imamo‖T x 1 − T x 2 ‖ ∞ = ‖y 1 − y 2 ‖ ∞ = maxkX= max1≤i≤k˛≤ maxj=11≤i≤kj=1= max1≤i≤kj=1pa je uslov da T predstavlja kontrakciju˛˛y (1)1≤i≤kc ij`x(1) j− x (2)jkX|c ij | · max˛˛x (1)1≤j≤ki− y (2)i ˛´˛j− x (2)j ˛kX|c ij | · ‖x 1 − x 2 ‖ ∞ ,(5)kX|c ij | < 1 za i = 1, 2, . . . , k .j=1Dakle svaki od uslova (3), (4), (5) je samo dovoljan da T bude kontrakcija.Literatura:S. Aljančić: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu. Grad¯evinska knjiga, Beograd,1968.3.1.2. Korišćenjem Banachovog stava o nepokretnoj tački, diskutovatiegzistenciju rešenja nehomogene Fredholmove integralne jednačine oblikax(s) = λ∫ baK(s,t)x(t)dt + g(s),gde je jezgro K(s,t) neprekidno u kvadratu P = [a,b] × [a,b], funkcija g(s)neprekidna u [a,b] i λ realni parametar. (x(t) je nepoznata funkcija kojutreba odrediti.)Rešenje. Označimo sa C[a, b] Banachov prostor funkcija x(t) koje su neprekidnena segmentu [a, b], b − a < +∞, gde je‖x‖ = maxa≤t≤b |x(t)| .Neprekidno rešenje date integralne jednačine možemo shvatiti kao nepokretnutačku preslikavanja y = T x, x = x(t) ∈ C[a, b], odred¯enog say(s) = λZ baK(s, t) x(t)dt + g(s) .