Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 241tj.P 7 (x) = 81119216 T 1 − 60115360 T 3 + 2346080 T 15 −322560 T 7 ,a ,,ukidanjem‘‘ polinoma T 7 i T 5 dobijamo polinom trećeg stepenaQ 3 (x) = 81119216 T 1 − 60115360 T 3 = 1149111520 x − 6013840 x3 ,pri čemu važi ocena|P 7 (x) − Q 3 (x)| ≤−1˛322560˛ +23˛46080˛ < 0.000503 (x ∈ [−1, 1]) .Sada možemo proceniti ukupnu grešku koju činimo ako funkciju x ↦→ y = sin xaproksimiramo sa polinomom Q 3 (x) za x ∈ [−1, 1]. Dakle, važi|sin x − Q 3 (x)| ≤ |sin x − P 7 (x)| + |P 7 (x) − Q 3 (x)|< 0.000003 + 0.000503 = 0.000506 < ε = 0.0006 ,pa je traženi polinom Q 3 (x) koji se može približno zapisati saQ 3 (x) ∼ = 0.99748x − 0.15651x 3 .6.2.18. Pomoću razvoja u Čebiševljeve polinome naći polinom najnižegstepena koji ravnomerno aproksimira funkcijuna [−1,1], sa tačnošću 10 −5 .f(x) =Rešenje. Za |r| < 1 važi razvoj1+∞1 − r e iθ = Xn=0r n e inθ =10 + x101 + 20x ,+∞ Xn=0Izjednačavanjem realnih delova jednakosti dobija se1 − r cos θ+∞1 − 2r cos θ + r 2 = Xn=0Zamenom θ = arccos x i uzimajući u obzir da jer n (cos nθ + i sin nθ).r n cos nθ, |r| < 1.T n (x) = cos (narccos x),