Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

66 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIgde je λ(B ∗ B) sopstvena vrednost matrice C = B ∗ B.S obzirom da je matrica B simetrična i realna, ona je i hermitska (B ∗ = ¯B ⊤ =B ⊤ = B). Za hermitsku matricu B važi λ(B ∗ B) = λ(B) 2 te se prethodni izrazpojednostavljuje, tj. postajeIz karakteristične jednačinek(B) =max |λ(B)|min |λ(B)| .det(B − λI) = (λ + 3) 2 (6 − λ) = 0 ,nalazimo sopstvene vrednosti matrice B, λ 1 = λ 2 = −3, λ 3 = 6, pa sledujek(B) = 6 3 = 2 .Poznato je da je matrica utoliko bolje uslovljena ukoliko je faktor uslovljenostik(B) bliži jedinici (videti [1, str. 246]). Inače, uvek je k(B) ≥ 1.(2)Rešimo sada Gaussovim algoritmom sistem By = c, tj.24 1 2 −43 22 −2 −2 5 4 y 3 21y 25 = 4 1 32 5 .−4 −2 1 y 3 5Najpre vršimo trougaonu redukciju: izračunavamo faktore m 21 =2/1=2, m 31 =−4/1=−4, zatim množimo prvu jednačinu sistema (2), koja ostaje nepromenjena,sa m i1 i oduzimamo od i–te jednačine (i = 2,3). Tako dobijamo(3)24 1 2 − 43 20 |−6 6 5 4 y 3 21y 25 = 4 1 30 5 .0 | 6 −15 y 3 9Dalje, izračunavamo faktor m 32 = 6/(−6) = −1, množimo drugu jednačinu sistema(3) i dodajemo trećoj (prva i druga jednačina ostaju nepromenjene), te dobijamo(4)24 1 2 −43 20 −6 6 5 4 y 3 21y 25 = 4 1 30 5 ,0 0 9 y 3 9čime je postupak trougaone redukcije završen.