Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 139Pokažimo sada da pravougaona oblastD =no(x, y) ∈ R 2 | x ∈ [0, 0.8], y ∈ [−0.5, 0.5]ispunjava uslove teoreme. (Šrafirana oblast na slici 1 je oblast D.)Najpre pokažimo da funkcija ϕ preslikava oblast D u samu sebe. Funkcija ϕ 1 ,koja zavisi samo od y, za y ∈ [−0.5, 0.5] je monotona i u D dobija minimalnuvrednost 0.6, a maksimalnu 0.8. Pri ispitivanju funkcije ϕ 2 imamo u vidu da izraz(x + 1) 2 − (y + 0.5) 2 , kao razlika monotonih funkcija, dobija u D vrednosti izintervala [0, 1.8 2 ]. Dakle, ϕ 2 dobija u D minimalnu vrednost −0.5, a maksimalnu0.31. Zato vektorska funkcija ϕ preslikava D u zatvorenu pravougaonu oblastD 1 =no(x,y) ∈ R 2 | x ∈ [0.6, 0.8], y ∈ [−0.5, 0.31] ,tako da važi D 1 ⊂ D. Parcijalni izvodi funkcija ϕ 1 i ϕ 2 su neprekidne funkcije uoblasti D. Odredimo matricu parcijalnih izvoda (6) i njenu ‖ · ‖ 1 normu:ϕ ′ (x, y) =264∂ϕ 1∂x∂ϕ 2∂x∂ϕ 1∂y∂ϕ 1∂y3275 = 6430 −0.4(y + 0.5)75 ,0.5(x + 1) −0.5(y + 0.5)no‖ϕ ′ ‖ 1 = max(x,y)∈D0.5|x + 1|, 0.9|y + 0.5| = 0.9.Dakle, ispunjeni su uslovi teoreme, pri čemu q = 0.9. Pri proizvoljnom izborustartne vrednosti iz D dobijamo konvergentni iterativni proces:Pri izboru x 0 = y 0 = 0 imamox k+1 = ϕ 1 (x k , y k ),y k+1 = ϕ 2 (x k , y k ), k = 0,1, . . . .(0 + 0.5)2x 1 = − + 0.8 = 0.75000,5y 1 = (0 + 1)2 − (0 + 0.5) 24− 0.5 = −0.31250.U priloženoj tabeli dajemo rezultate aproksimacija x k , y k za k = 0,1, . . . ,16zaokrugljene na 5 decimalnih mesta. Izračunavanje daljih aproksimacija ne dovodido povećavanja tačnosti rezultata, s obzirom na korišćenu aritmetiku konačnedužine.