Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

312 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJA(1)a) S obzirom da je funkcija f(x) = cos 2x parna, imamoZ 10cos 2x√1 − x 2 dx = 1 2 · πnnXf(x k ) + 1 2 R n(f) ,(2k − 1) πgde su x k = cos (k = 1,2, . . . , n), a R n (f) dato pomoću formule (3) iz2nprethodnog zadatka.k=1Kako je f (2n) (x) = (−1) n 2 2n cos2x imamoPrimetimo da je uslov12 R n(f) = (−1) n π(2n)!˛ 12 R n(f)˛ ≤cos 2ξ (−1 < ξ < 1) .π(2n)! < 10−4ispunjen za n = 4 jer je π ≈ 7.8 · 10 −5 . Prema tome primenićemo Gauss–8!Čebiševljevu formulu za n = 4.S obzirom da suimamox 1 = cos π 8 , x 2 = cos 3π 8 , x 3 = cos 5π 8 = −x 2 , x 4 = cos 7π 8 = −x 1 ,Z 10cos 2x√1 − x 2 dx ≈ π „ “2f cos π ” „+ 2f cos 3π ««≈ 0.3516 .8 8 8Numeričke vrednosti čvorova sux 1∼ = 0.92387953 , x2 ∼ = 0.38268343 .Primenom formule (1) za n = 2(1)8 dobijamo rezultate koji su dati u sledećojtabeli:Približna vrednost Približna vrednostn integrala (a) integrala (b)2 0.2449557829 1.2825498303 0.3554643616 1.3152057174 0.3516171344 1.3104041525 0.3516876037 1.3111253246 0.3516868074 1.3110135927 0.3516868135 1.3110311978 0.3516868135 1.3110283889 1.311028840