Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

DIREKTNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 77a ispod glavne dijagonale su nule. Dakle,L =2641 0 0 01/2 1 0 01/3 1/4 1 0−1/2 1/2 −1/2 13275 , R = 646 −6 12 240 4 −8 −40 0 2 00 0 0 1375 ,pri čemu jeLR = A ′ ,gde se matrica A ′ dobija iz matrice A konačnim brojem razmena vrsta, tj. A ′ = PA.Za rešavanje sistema Ax = b, posle učinjene faktorizacije treba, u skladu saindeksnim nizom I, permutovati koordinate vektora b, pri čemu dobijamo transformisanivektor b ′ . S obzirom da je I = (3, 4, 4), imamo2 39b = 6 −27p 1 =34 −6 5 ↦→ b 1 =52−66 −24 9537p 2 =45 ↦→ b 2 =264−659−237p 3 =45 ↦→ b 3 = b ′ =Vektor b ′ možemo dobiti i na osnovu b ′ = Pb. Sada sistem jednačina Ax = b ,tj.PAx = Pb , LRx = b ′ ,svodimo na sukcesivno rešavanje trougaonih sistemaLy = b ′ i Rx = y .Iz Ly = b ′ , sukcesivnim rešavanjem od prve ka poslednjoj jednačini, dobijamoy = ˆ −6 8 −2 1 ˜⊤ . Najzad, na osnovu Rx = y, sukcesivnim rešavanjemod poslednje jednačine ka prvoj, dobijamo x = ˆ −2 1 −1 1 ˜⊤ .Primetimo da za rešavanje sistema Ax = b ovakvom procedurom, nije potrebnopoznavati (izračunavati) matricu P ako znamo indeksni niz I. Pogotovu je korišćenjematrice P nepodesno sa stanovišta primene ovakvog algoritma na računskojmašini s obzirom na nepotrebno zauzeće memorijskog prostora.4.1.8. Primenom Gaussovog metoda eliminacije sa izborom glavnog elementanaći LR faktorizaciju matrice⎡⎤1 2 3 5⎢2 6 12 16 ⎥A = ⎣⎦,3 10 27 404 12 16 80264−65−29375 .