Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 117Takod¯e, može se koristiti i bolja aproksimacijalog(1 − g) ∼ = 8 3(1 − g) 3 − 1(2 − g) 3 ,koja dovodi do iterativne formule(6) x k+1 = x k − 8 3gde je g(x) = f(x)f ′′ (x)/f ′ (x) 2 .f ′ (x k ) (1 − g(x k )) 3 − 1f ′′ (x k ) (2 − g(x k )) 3 , k = 0, 1, . . . ,Upored¯enja radi, navedimo sada i rezultate koji se dobijaju korišćenjem Newtonovogmetoda (4), formule (5) i formule (6) pri rešavanju iste jednačine f(x) =x x − 10 5 = 0, koja ima izolovan prost koren na intervalu (6,7):k Newtonov metod formula (5) formula (6)0 7. 7. 7.1 6.701765027561503 6.489315673015889 6.3442686874990112 6.457293119641319 6.277565105244981 6.2709112695417243 6.313446756917490 6.270919559864347 6.2709195555620454 6.273434361546812 6.2709195555620455 6.2709286795583826 6.2709195556824267 6.270919555562045Literatura:G.V. Milovanović, D¯ . R. D¯ ord¯ević: Rešavanje nelinearnih jednačina iterativnimprocesima dobijenim eksponencijalnom aproksimacijom. Proc. 4th Bos.-Herc.Symp. on Informatics – Jahorina 80 (Jahorina, 1980), Vol. 2, 465/1–5, ETFSarajevo, Sarajevo 1980.5.1.13. Pokazati da funkcijaodred¯uje iterativni proces2f(x)f ′ (x)φ(x) = x −2f ′2 (x) − f(x)f ′′ (x)x k+1 = φ(x k ), k = 0,1,2, ... ,reda ne manjeg od tri za nalaženje prostog korena jednačine f(x) = 0.