Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

70 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIodakle jednostavno nalazimo x ij (i,j = 1,2,3), sukcesivno polazeći uvek od poslednjejednačine u sistemu. Tako je23−2 5 −3X = 4 1 −3 3 5 .1 −2 14.1.4. Data je matricaA =⎡⎤1 4 1 3⎢ 0 −1 2 −1 ⎥⎣⎦ .3 14 4 11 2 2 9Naći faktorizaciju A = LR, gde je L donja trougaona, a R gornja trougaonamatrica sa jediničnom dijagonalom. Korišćenjem ove faktorizacije rešiti sistemjednačina Ax = b, gde je b = [9 0 22 14 ] ⊤ .Rešenje. Trougaone matrice L i R reda n, imaju oblikeL = ˆl ij˜(ln×n ij = 0 za i < j) ,R = ˆr ij˜(r ij = 0 za i > j) .n×nRazlaganje matrice A = ˆa ij˜n×nu obliku A = LR, poznato kao LR faktorizacija(dekompozicija), nije jedinstveno s obzirom na jednakost„ « 1(∀c ≠ 0) LR = (cL)c R .Med¯utim, ako se dijagonalnim elementima matrice R (ili L) fiksiraju vrednosti odkojih nijedna nije jednaka nuli, razlaganje je jedinstveno.S obzirom da se zadatkom zahteva da je r ii = 1 (i = 1, . . . ,4), imamo (videti[1, str. 207–208])l 11 = a 11 ,r 1i = a 1il 11l i1 = a i19=;i−1Xl ii = a ii − l ik r kir ij = 1l iik=1(i = 2, 3,4) ;!Xi−1a ij − l ik r kjk=19> =(j = i + 1, . . . , 4);Xi−1l ji = a ji − l jk r ki > ;k=19>=>;(i = 2, 3,4) ,