Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 331Integracijom jednakosti (4), uz korišćenje (3), dobijamo(5)Z 1−1f(x)dx =Z 1−1H 3 (x)dx +Z 1−1r(f, x) dx= f(−1) + f(1) + 1 3 f ′ (−1) − 1 3 f ′ (1) + R(f),gde jeR(f) =Z 1−1r(f, x) dx = 1 4!Z 1−1f (4) (η)Ω(x)dx.Napomenimo da je η funkcija od x. No, s obzirom da je Ω(x) nenegativnafunkcija na [−1, 1], možemo na poslednji integral da primenimo teoremu o srednjojvrednosti odred¯enog integrala i tako dobijamoR(f) = 1 4! f(4) (ξ)gde je ξ ∈ (−1,1).Z 1−1Ω(x)dx = 2 4! f(4) (ξ)Z 10(x 4 − 2x 2 + 1) dx = 2 45 f(4) (ξ),Iskoristimo sada formulu (5) za približno izračunavanje integralaI =Z π/2Ako uvedemo smenu t = (x + 1)π/4 dobijamoI =∼= π 4= π 4Z π/200Z 1sin t dt = π 4 −1»sin 0 + sin π 2 + 1 π3“1 + π 12”∼= 0.991,sin t dt.sin π (x + 1)dx44 cos0 − 1 3π4 cos π –2pri čemu za grešku pri izračunavanju integrala I važi“˛ π|R(f)| = ˛R4 sin π ”˛˛˛4 (x + 1) 2 ˛ π= ˛π45 4 sin(4) (ξ + 1)˛˛˛4= 2 “ π” 5 π ˛˛˛sin45 4 4 (ξ + 1)˛˛˛ 2“ π” 5≤ < 1.33 × 10−2 .45 47.2.32. Zamenjujući funkciju f odgovarajućim interpolacionim polinomom,odrediti koeficijente A 1 ,A 2 ,A 3 i ostatak R(f) u kvadraturnoj formuli∫ 10f(x)dx = A 1 f(0) + A 2 f(1) + A 3 f ′ (0) + R(f).