Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

gde smo stavili a = cos θ (−1 < a < 1).Upored¯ivanjem (1) i (2) imamoLINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 343α 4 = 1 , α 3 = −2a , α 2 = 0 , α 1 = 2a , α 0 = −1 .S obzirom da se radi o optimalnom metodu njegov red je k + 2 = 4 + 2 = 6, paβ i (i = 0,1, . . . ,4) odred¯ujemo iz uslovagde su [3, str. 23]C 0 = C 1 = · · · = C 6 = 0 ⇐⇒ D 0 = D 1 = · · · = D 6 = 0 ,D 0 =α 0 + α 1 + · · · + α k ,(3)D 1 =−t α 0 + (1−t) α 1 + (2−t) α 2 + · · · + (k−t) α k − (β 0 +β 1 + · · · +β k ),D j = 1 ih(−t) j α 0 + (1 − t) j α 1 + · · · + (k − t) j αj!k1i−h(−t) j−1 β 0 + (1−t) j−1 β 1 + · · · + (k−t) j−1 β(j − 1)!k (j=2, 3, . . . ).Ako u (3) uvrstimo prethodno odred¯ene vrednosti za α i , uzmemo t = 2 i k = 4,dobijamo(4)(5)β 0 + β 1 + β 2 + β 3 + β 4 = 4 − 4a ,− 2β 0 − β 1 + β 3 + 2β 4 = 0 ,(7)4β 0 + β 1(6) + β 3 + 4β 4 = 2 (8 − 2a),3− 8β 0 − β 1 + β 3 + 8β 4 = 0 ,(9)16β 0 + β 1(8) + β 3 + 16β 4 = 2 (32 − 2a),5−32β 0 − β 1 + β 3 + 32β 4 = 0 .Iz simetrije koja postoji u jednakostima (5), (7), (9) zaključujemo da je β 0 = β 4 ,β 1 = β 3 . Jednačine (6) i (8) se svode na4β 0 + β 1 = 1 (8 − 2a),316β 0 + β 1 = 1 (32 − 2a),5odakle je β 0 = β 4 = 1 45 (14 + a), β 1 = β 3 = 1 (64 − 34a) a iz (4) dobijamo45β 2 = 1 (8 − 38a).15