Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 235Zamenom vrednosti za A 0 i A 1 dobijamoKada m → +∞, imamo‖δ(x)‖ 2 =2m(4m 2 − 4m + 1)(m + 2)(m + 1) 2 (3m + 1) 2 .‖δ(x)‖ → 0,što se i očekivalo, s obzirom da f(x) → 1 kada m → +∞.6.2.15. Za funkciju x ↦→ f(x) = sin πx odrediti najbolju srednje-kvadratnuaproksimaciju na [0,1] u obliku Φ(x) = a 1 x(1 − x) + a 2 (x(1 − x)) 2 .Rešenje. Definišimo funkciju greškeδ(x) = f(x) − Φ(x) = sin πx − a 1 x(1 − x) + a 2 [x(1 − x)] 2 .Najbolju srednje-kvadratnu aproksimaciju, funkcije f pomoću funkcije Φ, dobijamominimizacijom kvadrata norme funkcije greškeI(a 1 , a 2 ) = ‖δ(x)‖ 2 2 =Iz uslovadobijamoodakle je∂I∂a 1= −2∂I∂a 2= −2Z 10Z 10Z 10˘sin πx − a1 x(1 − x) − a 2 [x(1 − x)] 2¯2 dx.x(1 − x)˘sin πx − a 1 x(1 − x) − a 2 [x(1 − x)] 2¯ dx = 0 ,[x(1 − x)] 2 ˘sin πx − a 1 x(1 − x) − a 2 [x(1 − x)] 2¯ dx = 0 ,130 a 1 + 1140 a 2 = 4π 3 ,1140 a 1 + 1630 a 2 = 48π 5 − 4π 3 ,a 1 = 240 „π 3 77 − 756 «∼=π 2 3.1053, a 2 = 5040 „ « 168π 3 π 2 − 17 ∼= 3.5694 .Dakle, najbolja srednje-kvadratna aproksimacija je data sa(1)Φ(x) ∼ = 3.1053 x(1 − x) + 3.5694 [x(1 − x)] 2∼= x(1 − x)(3.1053 + 3.5694 x(1 − x)) .