Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 145Rešenje. Neka je dat sistem nelinearnih jednačina(1) f (x) = 0 ,gde sux =2643x 1. .x n75 , f (x) =23f 1 (x 1 , . . . , x n )6745 ..f n (x 1 , . . . , x n )U vektorskom prostoru R n , definišimo skalarni proizvod pomoću(x,y) =nXx k y k = y ⊤ x .k=1Kod gradijentnog metoda iterativni proces za rešavanje sistema nelinearnih jednačina(1) dat je formulom(2) x(k + 1) = x(k) − λ k ∇u(x(k)) (k = 0, 1, . . .),gde jeKako jeu(x) =nX[f i (x)] 2 = (f (x) ,f (x)) .i=1∇u (x) = 2 W ⊤ (x) f (x) ,gde je W (x) Jacobieva matrica za f, na osnovu (2), imamo(3) x(k + 1) = x(k) − µ k W ⊤ k f k (k = 0,1, . . .),gde jeµ k = 2λ k =“”f k , W k Wk ⊤ f k`Wk Wk ⊤ f k, W k Wk ⊤ f k´(f k = f (x(k)), W k = W (x(k))).Za dati sistem nelinearnih jednačina imamo2x = 4 x 32y 5 , f(x) = 4 x + 3x2 − 2yz − 0.1y − y 2 + 3xz + 0.2 5 ,zz + z 2 + 2xy − 0.323W (x) = df 1 + 2x −2z −2ydx = 4 3z 1 − 2y 3x 5 .2y 2x 1 + 2z