Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

200 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJATo je polinom stepena 2n + 1. Za x = x k dobijamoP i (x k ) = L ni (x k ) = δ ik .Dakle, naš polinom dobija vrednost nula za svako x k , k ≠ i. Razmotrimo izvodtog polinomaP ′ i(x) = L ′ ni(x) − ω ′ n(x)Za x = x k dobijamonXj=0P ′ i(x k ) = L ′ ni(x k ) − ω ′ n(x k )L ′ ni (x j)ω ′ n(x j ) L nj(x) − ω n (x)nXj=0nXj=1L ′ ni (x j)ω ′ n(x j ) L′ nj(x).L ′ ni (x j)ω ′ n(x j ) L nj(x k ) = L ′ ni(x k ) − L ′ ni(x k ) = 0.Na taj način, P i (x) ima dvostruki koren za svako x = x k , k ≠ i. Dakle, taj polinomsadrži množiteljω 2 n(x)(x − x i ) 2 .Kako je stepen polinoma P i (x) jednak 2n + 1 možemo ga zapisati u obliku(1) P i (x) = ω2 n(x)(x − x i ) 2 [A + B(x − x i)] .Odredimo koeficijente A i B. Stavljajući x = x i u (1) dobijamoodakle je1 = ω ′ n2(xi )A,A =1ω ′ n 2 (x i ) .Diferencirajući jednakost (1), a zatim stavljajući x = x i , dobijamoOtuda je0 = P ′ i(x i ) = ω ′ n(x i )ω ′′n(x i )A + ω ′ n2(xi )B.B = − ω′′ n(x i )ω n ′ 3 (x i ) .Sada je polinom P i (x) moguće predstaviti u oblikuω 2P i (x) =n(x)(x − x i ) 2 ω n ′ 2 (x i )––»1 − ω′′ n(x i )ω n(x ′ i ) (x − x i) = L 2 ni(x)»1 − ω′′ n(x i )ω n(x ′ i ) (x − x i) .