Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 257Primenimo sada ovaj algoritam za rešavanje problema datog zadatkom, usvajajućitačnost ε = 10 −3 .Na osnovu koraka 1 ◦ algoritma, biramo n + 2 = 4 tačke sa segmenta [−1, 1], naprimer,x 0 = − 2 3 , x 1 = − 1 3 , x 2 = 1 3 , x 3 = 2 3 .Aproksimacioni polinom je oblika P 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , pa na osnovu (1), tj.|x k | − `a 0 + a 1 x k + a 2 x 2 k´= (−1)k E (k = 0, 1,2, 3)dobijamo sistem linearnih jednačinaa 0 −a 0 −a 0 +a 0 +23 a 1 +13 a 1 +13 a 1 +23 a 1 +49 a 2 +19 a 2 −19 a 2 +49 a 2 −E = 2 3 ,E = 1 3 ,E = 1 3 ,E = 2 3 ,odakle nalazimo a 0 = 2/9, a 1 = 0, a 2 = 1, E = 0.Prema koraku 2 ◦ algoritma, formiramo funkciju δ 2 (x) = |x| − 2 9 − x2 . Kakoje δ ′ 2(x) = sgn x − 2x (x ≠ 0), tačke lokalnog ekstremuma su x = − 1 2 i x = 1 2 .U tački x = 0 funkcija δ 2 (x) nije diferencijabilna, no lako se utvrd¯uje da je tačkax = 0 tačka lokalnog minimuma funkcije δ 2 (x). S obzirom da smo odredili tri tačkelokalnog ekstremuma funkcije δ 2 (x), a potrebne su nam n + 2 = 4 tačke, uzmimojoš i tačku x = 1 (δ 2 (−1) = δ 2 (1)). Kako funkcija δ 2 (x) u tačkama − 1 2 , 0, 12 , 1alternativno menja znak, to je, dakle,ˆx 0 = − 1 2 , ˆx 1 = 0, ˆx 2 = 1 2 , ˆx 3 = 1.Na osnovu koraka 3 ◦ algoritma, proveravamo da li su zadovoljeni uslovi|ˆx k − x k | < 10 −3 (k = 0,1, 2,3).S obzirom da uslovi nisu zadovoljeni, uzima se x k := ˆx k (k = 0, 1,2, 3), tj. x 0 =− 1 2 , x 1 = 0, x 2 = 1 2 , x 3 = 1 i prelazi na korak 1 ◦ algoritma.