Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 277Iz uslova R 3 (x k ) = 0 (k = 0, 1,2), tj. iz sistema jednačinaA 1 + A 2 + A 3 = π , −A 1 + A 3 = 0 , A 1 + A 3 = π 2dobijamo A 1 =A 3 = π 4 i A 2 = π 2 . Kako je R 3(x 3 ) = 0 iR 3 (x 4 ) = 3π 8 − π 4 (1 + 1) = −π 8 ≠ 0,zaključujemo da dobijena kvadraturna formulaZ 1−1`1 − x2´−1/2 π“”f(x)dx = f(−1) + 2f(0) + f(1) + R 3 (f)4ima algebarski stepen tačnosti p = 3.Posmatrajmo sada opštiju kvadraturnu formuluZ 1−1`1 − x2´−1/2 f(x)dx = A1 f(−t) + A 2 f(0) + A 3 f(t) + R 3 (f),gde je 0 < t ≤ 1. Iz uslova R 3 (x k ) = 0 (k = 0, 1,2), na isti način dobijamoA 1 = A 3 = π`2t 24t 2 , A − 1´π2 =2t 2 .Nadalje imamo R 3 (x 3 ) = 0, R 3 (x 4 ) = π 8`3 − 4t2´, R 3 (x 5 ) = 0, R 3 (x 6 ) =√π3`5 − 8t4´. Dakle, ako je t ≠ , kvadraturna formula162Z 1−1`1 − x2´−1/2 π“”f(x)dx =4t 2 f(−t) + 2`2t 2 − 1´f(0) + f(t) + R 3 (f)ima algebarski stepen tačnosti p = 3, dok u slučaju t = √ 3/2 ona postiže maksimalnistepen tačnosti p = 5. Tako dobijena kvadraturna formulaZ 1−1„ „`1 − x2´−1/2 π f(x)dx = f −3√3naziva se Gauss–Čebiševljeva formula u tri tačke.2«+ f(0) + f2 ◦ Momenti težinske funkcije x ↦→ e −x na (0, +∞) sum k =Z +∞0e −x x k dx = k! (k = 0,1, . . .).„ √ «« 3+ R 3 (f)2