Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 1155.1.12. Za rešavanje nelinearne jednačine f(x) = 0 koja na segmentu[α,β] ima izolovan jedinstven prost koren x = a, koristi se iterativni proces(1) x k+1 = x k + f ′ (x k )f ′′ (x k ) log (1 − g(x k)) (k = 0,1,... ),gde jeg(x) = f(x)f ′′ (x)f ′ (x) 2 .Ako f ∈ C 3 [α,β], odrediti red konvergencije r i asimptotsku konstantugreške C r datog iterativnog procesa.Korišćenjem datog metoda rešiti jednačinu f(x) = x x − 10 5 = 0 koja imajedinstven prost koren u intervalu (6,7).Rešenje. Sa U(a) (⊂ [α, β]) označimo okolinu tačke x = a za koju jef(x)f ′′ (x)(2) |g(x)| =˛ f ′ (x)˛˛˛˛˛ 2 ≤ q < 1 .Iterativna funkcija procesa (1) jegde smo stavili(3)Φ(x) = x + f ′g = −h f ′′f ′′ log(1 − g) ,f ′ i h = − f f ′ .S obzirom da za x ∈ U(a) važi nejednakost (2), to jeΦ(x) − x = h „g + 1 g 2 g2 + 1 3 g3 + 1 «4 g4 + · · ·= h − f ′′2f ′ h2 + f ′′ 23f ′ 2 h3 + O(h 4 ) .S druge strane, na osnovu Schröederovog razvoja (videti [1, str. 354]) imamoa − x = h − f ′′2f ′ h2 + 3f ′′ 2 − f ′ f ′′6f ′ 2 h 3 + O(h 4 ).Ako sada od (3) oduzmemo (2) i imajući u vidu h ∼ a − x (x → a), dobijamoΦ(x) − a ∼ f ′′ (a) 2 − f ′ (a)f ′′′ (a)6f ′ (a) 2 (x − a) 3 ,