Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

56 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAPokazaćemo da f preslikava A u samog sebe i da je kontrakcija.Pre svega, ako je x ∈ A i t ∈ ∆, tačka (t, x(t)) ∈ P, tj. desna strana u (4) imasmisla i očigledno y ∈ C ∆ . Da bismo dokazali da y ∈ A, primećujemo da je premaa) i na osnovu druge nejednakosti u (3),Z t|y(t) − x 0 | =˛ g[t, x(t)]dt˛ ≤ M|t − t 0| ≤ Mh ≤ M bt 0M = b.Neka x 1 , x 2 ∈ A. Tada je za t ∈ ∆, na osnovu b),Z t|y 1 (t) − y 2 (t)| =˛˘g[t, x1 (t)] − g[t, x 2 (t)]¯ dt˛t 0Z t≤ K |x 1 (t) − x 2 (t)| |dt|t 0≤ Kh max |x 1(t) − x 2 (t)|.t∈∆Prema prvoj nejednakosti u (3) imamo Kh = q < 1. S druge strane, na osnovudefinicije rastojanja u C ∆ , je d(y 1 , y 2 ) ≤ q d(x 1 , x 2 ), tj. f je kontrakcija.Kako je prostor C ∆ kompletan, a A zatvoren skup u C ∆ , to je A sam zasebe kompletan metrički prostor, pa su svi uslovi za primenu Banachovog stavazadovoljeni, tj. preslikavanje (1) ima jednu jedinu nepokretnu tačku, a to je jedinorešenje integralne jednačine (2), odnosno postavljenog diferencijalnog zadatka.Literatura:S. Aljančić: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu. Grad¯evinska knjiga, Beograd,1968.3.2. Karakteristike procesa i ubrzavanje konvergencije3.2.1. Dat je iterativni proces(1) x k+1 = F(x k ) (k = 0,1,... ),gde je F(x) = √ 2 + x, x 0 = 0. Odrediti red konvergencije r iterativnogprocesa (1), kao i konstante a i K u formuligde je a = limk→+∞ x k.|x k+1 − a|limk→+∞ |x k − a| r = K,