Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

DIREKTNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 71pa jeL =264100 −13 2 51 −2 −3 23275 , R = 6431 4 1 31 −2 171 −2 50.1S obzirom da je A = LR, sistem Ax = ⃗ b sada postaje LRx = b. SmenomRx = y, dobijamoLy = b ,odakle je, sukcesivnim rešavanjem ovog sistema polazeći od prve ka poslednjojjednačini, y = ˆ9 0 −1 1 ˜⊤ . Sada rešavamo sistemRx = y ,polazeći od poslednje ka prvoj jednačini, pa je x = ˆ1 1 1 1 ˜⊤ .Napomenimo da su faktorizacioni metodi naročito pogodni za rešavanje sistemalinearnih jednačina, kod kojih se matrica sistema ne menja, već samo vektorslobodnih članova b. Ovakvi sistemi se često javljaju u tehnici.4.1.5. Metodom kvadratnog korena rešiti sistem jednačinaRačunati na četiri decimale.Rešenje. Matrica sistema4.32x 1 + 0.28x 2 + 0.57x 3 + 0.87x 4 = 2.17,0.28x 1 + 3.84x 2 + 0.43x 3 + 0.62x 4 = 4.36,0.57x 1 + 0.43x 2 + 3.42x 3 + 0.52x 4 = 4.32,0.87x 1 + 0.62x 2 + 0.52x 3 + 3.30x 4 = 4.48.234.32 0.28 0.57 0.87A = 60.28 3.84 0.43 0.62740.57 0.43 3.42 0.52 50.87 0.62 0.52 3.30je normalna (simetrična i pozitivno definitna), pa možemo da izvršimo njenu faktorizacijuu obliku A = R ⊤ R, gde je R gornja trougaona matricaR = ˆr ij˜4×4 , r ij = 0 za i > j.