Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 41Na osnovu (3) za m = 2, imamof(x) =„ « 2x x(1 − x) 2 + − 7 +∞ !1 − x 4 + X 6 k 2 + 12 k + 4k=1(k(k + 1)(k + 2)) 2 xk .U konkretnom slučaju, za x = −1, ovo se svodi na(4) f(−1) = − 1116 + 1 +∞ X 3 k 2 + 6 k + 22 (k(k + 1)(k + 2)) 2 (−1)k .k=1Dobijeni red je alternativan pa greška koju činimo, ako umesto beskonačne sumeuzmemo konačnu sumu od n− članova, nije veća od (n+1)−og člana sume, uzetogpo modulu. Dakle, s obzirom na traženu tačnost zahtevamo da je12 · 3 k 2 + 6 k + 2(k(k + 1)(k + 2)) 2 ≤ 5 · 10−4 .Ovo je zadovoljeno za k ≥ 7. Znači, dovoljno je uzeti prvih šest članova sume u(4) da bi se postigla željena tačnost. Tako dobijamof(−1) ∼ = −0.82222 .Ako bismo direktno sumirali red (1), za istu tačnost od 5 · 10 −4 , potrebno jeuzeti najmanje 44 člana reda što sleduje na osnovu nejednakostiPrimetimo da je1k 2 ≤ 5 · 10−4 .f(−1) =+∞ Xk=1(−1) kk 2= − π212 ∼ = −0.822467 .2.1.19. Korišćenjem Euler–Abelove transformacije primenjene beskonačnoputa, naći sumu reda+∞∑ k 3S =3 k .Rešenje. Za stepeni redf(x) =+∞ Xk=0k=1a k x k =+∞ Xk=0k 3 x k ,