Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 305gde ξ ∈ (0,2h) i zavisi od x. Primetimo da ostatak (3) ne možemo predstaviti uoblikuR(f) = C f ′′′ (η) (0 < η < 2h) ,jer se na integral koji se pojavljuje u (3) ne može primeniti teorema o srednjojvrednosti integrala. Razlog je što funkcija x ↦→ x a+1 (x − h)(x − 2h) menja znakna (0,2h). Med¯utim, važigde je M 3 = max0≤x≤2h˛˛f ′′′ (x)˛˛ i C =|R(f)| ≤ 1 6 C · M 3 ,Z 2h0x a+1 (2h − x) |x − h| dx.7.2.19. Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije formirati skup{Q 0 , Q 1 , Q 2 } ortogonalnih polinoma na (−1,1) sa težinom p(x) = √ 1 − x 2 ,a zatim odrediti parametre i ostatak u kvadraturnoj formuli Gaussovog tipa(1)∫ 1−1√1 − x2 f(x)dx = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + R 2 (f).Rešenje. Kako jei C 0 =Z 1−1C n =Z 1−18x np >< 0 (n = 2k + 1),1 − x 2 dx = 2(n − 1)!!>:(n + 2)!! C 0 (n = 2k) ,p1 − x 2 dx = π 2 , nalazimo C 2 = π 8 i C 4 = π 16 .Primenom Gram–Schmidtovog postupka ortogonalizacije jednostavno dobijamoQ 0 (x) = 1 ,Q 1 (x) = x − C 1C 0Q 0 (x) = x ,Q 2 (x) = x 2 − C 2C 0Q 0 (x) − C 3C 2Q 1 (x) = x 2 − 1 4 .Čvorove u Gaussovoj kvadraturi (1) nalazimo kao nule polinoma Q 2 . Dakle,−x 1 = x 2 = 1 2 .