Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

256 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAimamoP 3 (x) = a · 14 (3T 1(x) + T 3 (x)) + bx 2 + cx + d.Opisanim postupkom ekonomizacije dobijamoQ 2 (x) = a · 14 (3T 1(x)) + bx 2 + cx + d (T 1 (x) = x)„ «= bx 2 3a+4 + c x + d.Dakle, polinom Q 2 (x), u skupu polinoma stepena ne višeg od drugog, predstavljai najbolju srednje-kvadratnu aproksimaciju na [−1, 1] sa Čebiševljevomtežinom i najbolju mini-max aproksimaciju na [−1, 1], za polinom P 3 (x).6.2.30. Korišćenjem Rémèsovog algoritma naći mini-max aproksimacijufunkcije x ↦→ f(x) = |x| na segmentu [−1,1], u skupu polinoma stepenan ≤ 2.Rešenje. Samo u relativno malom broju konkretnih slučajeva moguće je tačnoodrediti mini-max aproksimaciju neke funkcije korišćenjem teoreme o Čebiševljevojalternansi. To je logična posledica toga što neposrednim korišćenjem pomenuteteoreme dolazimo, u opštem slučaju, do sistema nelinearnih jednačina.Med¯utim, oslanjajući se na teoremu o Čebiševljevoj alternansi konstruišu sealgoritmi za približno odred¯ivanje mini-max aproksimacije date funkcije, kod kojihje otklonjen ovaj nedostatak. Jedan od najprikladnijih algoritama je Rémèsovalgoritam, čija se jedna varijanta može iskazati na sledeći način:1 ◦ Izabere se skup od n+2 sukcesivne tačke x 0 , x 1 , . . . , x n+1 sa segmenta [a, b],na kome se traži aproksimacija date funkcije i odrede se koeficijenti polinoma P ni veličina E tako da je(1) f(x k ) − P n (x k ) = (−1) k E (k = 0,1, . . . , n + 1).2 ◦ Na [a, b] se odredi skup od n + 2 tačke ˆx 0 , ˆx 1 , . . . , ˆx n+1 u kojima δ n (x) =f(x) − P n (x) ima sukcesivne lokalne ekstremume sa alternativnim znacima, uključujućiu ovaj skup, eventualno, jednu (onu u kojoj je veća vrednost |δ n (x)|) ili obekrajnje tačke segmenta.3 ◦ Za unapred zadatu tačnost ε proveravaju se uslovi|ˆx k − x k | < ε (k = 0,1, . . . , n + 1).Ukoliko bar jedan od ovih uslova nije zadovoljen uzima se x k := ˆx k (k = 0, 1, . . .,n + 1) i prelazi na 1 ◦ . U slučaju da su pomenuti uslovi ispunjeni, algoritam sezavršava i polinom P n se uzima kao najbolja mini-max aproksimacija P ∗ n.