Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 3250“W n(x ′ 1cos n + 1 ” 1θBk ) = @W2sin 2 θ n (x k ) − (2n + 1) 2 kC (2n + 1)(−1)k+1kcos θ A =k4sin 2 θ k222 cos θ .k2Dakle, tražena kvadraturna formula Gaussovog tipa je(5)Z 1−1r1 − x 4πf(x)dx =1 + x 2n + 1nXsin 2k=1kπ“2n + 1 f cospri čemu se ostatak u klasi funkcija C 2n [−1, 1] može dati u oblikuR n (f) =π(2n)!2 2n f(2n) (ξ) (−1 < ξ < 1).2kπ”+ R n (f),2n + 1Ako sa K n (1) (f) označimo kvadraturnu formulu iz prethodnog zadatka, tj.K n (1) (f) =2π nXsin 2 kπ“n + 1 n + 1 f cos 2kπ ”,n + 1k=1a sa Kn G (f) Gaussovu kvadraturnu sumu u (5), lako se uočava da je K (1)2n (f) =Kn G (f), tj. isti rezultat se dobija i sa formulom iz prethodnog zadatka, ali sa dvaputa većim brojem čvorova. Ilustrujmo ovu činjenicu na numeričkom primeruI =Z 1−1r1 − x + x 2 − x 3dx =1 + xZ 1−1r1 − x1 + xp1 + x 2 dx,sa f(x) = √ 1 + x 2 , uzimajući u kvadraturnim formulama broj čvorova n = 5(5)30.n K n (1) (f)Kn G (f)5 3.82256588973303 3.8201845043062310 3.82018450430623 3.8201977896814415 3.82019771538528 3.8201977890276620 3.82019778968144 3.8201977890277125 3.82019778903289 3.8201977890277130 3.82019778902766 3.82019778902771Primedba. Jacobievi polinomi za α = −β = 1/2, definisani sa (4), u literaturisu poznati kao Čebiševljevi polinomi četvrte vrste. Odgovarajući polinomi ortogonalniu odnosu na težinu p(x) = (1 − x) −1/2 (1 + x) 1/2 (−α = β = 1/2) nazivajuse Čebiševljevi polinomi treće vrste. I oni se mogu eksplicitno izraziti u obliku“cos k + 1 ”θV k (cos θ) = 2cos θ (k = 0,1, . . .).2