Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Rešenje. Kako jeNUMERIČKA INTEGRACIJA 293„at 2 + bt + c = a t + b « 2− b2 − 4ac2a 4auvod¯enjem smene √ „a t + b «= x, integral (2) se svodi na2aI = AZ +∞−∞„ x√ae −x2 g − b «dx,2a„ b 2 «− 4acgde smo stavili A = exp / √ a. Sada, primenom formule (1) dobijamo4aI ∼ = AnXk=1„xkA k g √ − b «. a 2a7.2.12. Odrediti kvadraturnu formulu interpolacionog tipa(1)∫ 1n∑f(x)dx = A k f(x k ) + R n+1 (f),−1k=0gde su čvorovi x k ekstremalne tačke Čebiševljenog polinoma T n(x) na [−1,1](T n (x k ) = ±1).Rešenje. Iz uslova T n (x) = cos(narccos x) = ±1 nalazimo x k = cos kπ n (k =0, 1, . . . , n). Definišimo polinom ω stepena n + 1 pomoću(2) ω(x) = `x 2 − 1´S n−1 (x),gde je S n−1 Čebiševljev polinom druge vrste.Kao što je poznato, reprezentacija ovih polinoma na [−1, 1] je moguća u obliku(3) S m (x) =sin(m + 1)θsin θ, x = cos θ .Stavimo, dalje, θ k = kπ (k = 1, . . . , n − 1). Primetimo da su nule polinomanS n−1 (x), upravo tačke x k (k = 1, 2, . . . , n − 1), tako da polinom ω(x) ima nulekoje su čvorovi kvadraturne formule (1).