Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

34 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEkako bismo naznačili da se ono izvršava na računaru, posle čega imamo pojavumašinske greške):p 1 = x 1 ,p 2 = x 2 ⊙ p 1 = x 2 p 1 (1 + r 2 ) = x 2 x 1 (1 + r 2 ),p 3 = x 3 ⊙ p 2 = x 3 p 2 (1 + r 3 ) = x 3 x 2 x 1 (1 + r 2 )(1 + r 3 ),.p n = x n ⊙ p n−1 = x n p n−1 (1 + r n ) = x n x n−1 · · · x 1 (1 + r 2 )(1 + r 3 ) · · · (1 + r n ),y A = p n .U smislu (12) (videti zadatku 2.1.8) možemo uzeti, na primer, 9) da jex A = [x 1 x 2 (1 + r 2 ) · · · x n (1 + r n )] ⊤ ,pri čemu je f A (x) = f(x A ). Korišćenjem ‖ · ‖ ∞ norme, imamo‖x A − x‖ ∞‖x‖ ∞ · eps = ‖[0 x 2r 2 . . . x n r n ] ⊤ ‖ ∞‖x‖ ∞ · eps≤ ‖x‖ ∞ · eps‖x‖ ∞ · eps = 1 .Na taj način, pomoću (14) iz zadatka 2.1.8, (cond A)(x) ≤ 1 za svako x ∈ R n (t, s).Dakle, saglasno očekivanju, ovaj algoritam je perfektno dobro uslovljen.2.1.13. Na osnovu Taylorovog razvoja funkcijesin πx2 ∼ = π ( π) 3 x3 ( π) 5 x5 ( π) 7 x72 x − 2 6 + 2 120 − 2 5040 ,naći koeficijente u racionalnoj aproksimacionoj funkcijisin πx2 ∼ =b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 31 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 .Rešenje. S obzirom da je funkcija x ↦→ sin πx2 neparna, imamo b 0 = b 2 = c 1 =c 3 = 0, pa jesin πx2 ∼ = b 1 x + b 3 x 31 + c 2 x 2 + c 4 x 4 .Na osnovuπ“ π” 3 x3 “ π” 5 x5 “ π” 7 x72 x − 2 6 + 2 120 − 2 5040 ∼ = b 1 x + b 3 x 31 + c 2 x 2 + c 4 x 49) Ovde ne postoji jedinstvenost.