Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

180 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgde jeDakle,g 1 (x) = x 2 − x23 + x34 − · · · .(4) A = (1 + E)J = (2 + ∆) g(∆) = 2h„1 + ∆ + 1 6 ∆2 − 1 «90 ∆4 + · · · .Kako jeAf(x) = (1 + E)J f(x) = (1 + E)=Z x+hxf(t)dt +Z x+2hx+hZ x+hxf(t) dt =f(t) dtZ x+2huzimanjem samo prva tri člana u razvoju (4) dobijamoAf(x) ∼ = 2h„1 + ∆ + 1 «6 ∆2 f(x),xf(t) dt ,tj.Z x+2hxf(t) dt ∼ = h (f(x) + 4f(x + h) + f(x + 2h)) .3Poslednja formula je poznata kao Simpsonova formula za numeričku integraciju.6.1.22. Primenom prvog Newtonovog interpolacionog polinoma izračunatisin 6 ◦ na osnovu vrednosti sin 5 ◦ , sin 7 ◦ , sin 9 ◦ , sin 11 ◦ . Proveriti da li se istirezultat dobija korišćenjem drugog Newtonovog interpolacionog polinoma.Rešenje. Neka je funkcija f data parovima vrednosti (x k , f k ), gde je f k =f(x k ) i x k = x 0 + kh (k = 0,1, . . . , n) (h = const > 0).Ako stavimo da je p = x − x 0, prvi Newtonov interpolacioni polinom glasih(1) P n (x) = f 0 + p∆f 0 +ilip(p − 1)2!∆ 2 f 0 + · · · +p(p − 1) · · ·(p − n + 1)n!∆ n f 0(2)P n (x) = f 0 + ∆f 0h (x − x 0) + ∆2 f 02! h 2 (x − x 0)(x − x 1 ) + · · ·+ ∆n f 0n!h n (x − x 0)(x − x 1 ) · · ·(x − x n−1 ),