Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

178 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA(1) δ = E 1/2 − E −1/2 ,gde je E operator pomeranja, imamo(2) µ = 1 + E−1/2´ = E 1/2 − 1 − E−1/2´ = E 1/2 − 1 222 δ .Ako (1) pomnožimo sa E 1/2 , dobijamoodakle jeTada, na osnovu (2), zaključujemo da je(3) µ =E − δE 1/2 − 1 = 0 ,E 1/2 = 1 2 δ + „1 + 1 4 δ2 « 1/2.„1 + 1 4 δ2 « 1/2.Na osnovu jednakosti (3) iz zadatka 6.1.19 imamoD = 2 h log„δ2 + 1 + 1 « ! 1/24 δ2 ,ili, uz korišćenje prethodno dokazane jednakosti (3),(4) D = 2 h µ „1 + 1 4 δ2 « −1/2logS obzirom da važilog„1 + 1 « −1/2 +∞ X4 δ2 = 1 +k=1„δ2 + 1 + 1 « ! 1/24 δ2 .(−1) k (2k − 1)!!(2k)!! 2 2k δ 2k ,„δ2 + 1 + 1 « ! 1/24 δ2 = δ +∞ 2 + X (2k − 1)!!δ2k+1(2k)!! (2k + 1)22k+1 k=1(videti zadatak 6.1.20), na osnovu (4) najzad dobijamo(5) D = µ h„δ − 123! δ3 + 12 · 2 2δ 5 − 12 · 2 2 · 3 2 «δ 7 + · · · .5! 7!