Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

290 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJA2 ◦ Ovde je n = b − a2h147–148]) imamoH(1) ∼ = 1 30pri čemu je greška jednaka= 5. Po uopštenoj Simpsonovoj formuli (videti [2, str.nf 0 + 4(f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + f 9 ) + 2(f 2 + f 4 + f 6 + f 8 ) + f 10o,(b − a)5R(f) = −2880 n 4 f(4) (ξ) = − 10−61.8 · 2√ · 4`4ξ 4 − 12ξ 2 + 3´e −ξ2 ,πgde je 0 < ξ < 1. Primetimo da jeKako jeimamo|R(f)| ≤ |R(f)| ξ=0 < 8 · 10 −6 .f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + f 9 = 4.2204386 i f 2 + f 4 + f 6 + f 8 = 3.4279053,H(1) ∼ = 1 30˘1.1283792 + 4 · 4.2204386 + 2 · 3.4279053 + 0.4151076¯ ∼= 0.8427017 ,što zaokrugljivanjem na šet decimala daje H(1) ∼ = 0.842702.Primetimo da je tačnost uopštene Simpsonove formule znatno veća od tačnostikoju daje uopštena trapezna formula.7.2.9. Izračunati ∫ 40√1 + √ xdx,primenjujući kompozitnu trapeznu i Simpsonovu formulu, sa greškom ε =10 −2 . Koristiti Rungeovu ocenu.Rešenje. Tabelirajmo funkciju x ↦→ f(x) = p 1 + √ x na intervalu [0, 4] u 13tačaka i izračunajmo vrednost datog integrala za n = 6 i n = 12 i procenimogrešku.Koristeći kompozitnu (uopštenu) trapeznu formulu dobijamoT 6 = h ihf 0 + 2(f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + f 10 ) + f 12 = 6.02606 (h = 2/3),2T 12 = h ihf 0 + 2(f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 + f 9 + f 10 + f 11 ) + f 122= 6.05761 (h = 1/3).