Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 303Rešenje. Na osnovu prethodnog zadatka, imamo A = 13m , B = −C = 124m 2 ,pa jeZ i/m(i−1)/mf(x)dx ∼ = 1 „f3m„ « i − 1+ fm„ « „ ««2i − 1 i+ f2m m− 1 „ « „ ««„f ′ i24m 2 − f ′ i − 1,m mpri čemu se ostatak može oceniti pomoću(1) R i (f) =11920 m 5 f(4) (ξ i )„ i − 1m< ξ i < i «.mOdgovarajuću kompozitnu formulu za segment [0, 1] dobijamo na sledeći način:Z 10f(x)dx=mXi=1Z i/m(i−1)/m∼= 13m 2 m Xi=0f(x)dx′′ f„ im«+mXfi=1„ « ! 2i−1− 1 “”2m 24 m 2 f ′ (1)−f ′ (0) ,gde P ′′ označava da se prvi i poslednji član sume uzimaju sa faktorom 1/2. Akoje f ∈ C 4 [0, 1], korišćenjem (1), ostatak u dobijenoj kompozitnoj formuli se možepredstaviti u oblikuR(f) =11920 m 4 f(4) (ξ) (0 < ξ < 1) .7.2.18. Odrediti koeficijente A, B, C i oceniti ostatak u kvadraturnojformuli(1)∫ 2h0x a f(x)dx = (2h) a+1 ( Af 0 + B ∆f 0 + C ∆ 2 f 0)+R(f) (a > −1),gde je f k = f(kh) (k = 0,1,2), tako da je formula tačna za polinome što jemoguće višeg stepena.Rešenje. Koeficijente A, B, C odredićemo iz uslova R(x k ) = 0 (k = 0, 1,2).Tako imamo:Za k = 0, f 0 = f 1 = f 2 = 1, ∆f 0 = ∆ 2 f 0 = 0, pa iz R(1) = 0 dobijamoA = 1/(a + 1).