Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

316 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAdobijamo da je R(x 4 ) = (1 − 2a 2 )/12, odakle je R(x 4 ) = 0 za a = ± √ 2/2, tj.a = √ 2/2 jer a ∈ (0,1). Kvadraturna formula najzad dobija oblikZ 1−1|x|(1 − x 2 )f(x)dx = 1 √ « 2„−6 f + 1 2 6 f(0) + 1 „ √ « 26 f + R(f),2i ona je tačna za sve polinome stepena ne većeg od 4. Jednostavnom proveromza f(x) = x 5 zaključujemo da je R(x 5 ) = 0. Na isti način za f(x) = x 6 nalazimoda R(x 6 ) = 1/120 ≠ 0, pa poslednja kvadraturna formula ima algebarski stepentačnosti 5, dakle ona je Gaussovog tipa.Ostatak dobijene Gaussove kvadraturne formule jeR(f) = f(6) (ξ)R(x 6 ) =6!1120 · 6! f(6) (ξ) = f(6) (ξ), ξ ∈ (−1, 1).86400Najzad, primenjući dobijenu formulu, izračunajmo integralKako jeZ 10Z 10px 1 − x 2 dx.px 1 − x 2 dx = 1 Z 1 p|x| 1 − x22 dx = 1 Z 1|x|(1 − x 2 1) · √−12 −11 − x 2 dx,potrebno je uzetif(x) =1√1 − x 2 .Tada dobijamoZ 102px 1 − x 2 dx ∼ = 1 4 12 6 ·1q1 − `− √ 2/2´2 + 1 6 ·1√1 − 0 23+ 1 6 · 1q1 − `√ 5 ∼ = 0.319.2/2´27.2.26. Odrediti parametre Gaussove kvadraturne formule∫ 1−1p(x)f(x)dx = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + A 3 f(x 3 ) + R 3 (f)