Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

198 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAPrimenimo sada isti postupak na odred¯ivanje polinoma H 3 , na osnovu podataka(2) i (3). Dakle, imamoH 3 (x) = P ∗ 2 (x) + (x + 1)(x − 2)x a(a = H 0 (x)),gde jeP ∗ 2 (x) = 1(x−0)(x−2)(−1−0)(−1−2) + 1 (x+1)(x−2)(0+1)(0−2) + 7 (x+1)(x−0)(2+1)(2−0) = x2 + x + 1 .Dalje, kako jeH ′ 3(x) = 2x + 1 + `3x 2 − 2x − 2´ai H 3(0) ′ = −1, dobijamo a = 1, pa jeH 3 (x) = x 3 − x + 1 .Najzad, na osnovu (1), dobijamoH 6 (x) = x 6 − x 5 − 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 5x − 7 .6.1.32. Odrediti Hermiteov interpolacioni polinom koji u tačama x 0 ,x 1 ,... ,x n ima vrednosti y 0 ,y 1 , ... ,y n i vrednosti izvoda y ′ 0 ,y′ 1 , ... ,y′ n .Rešenje. Hermiteov interpolacioni polinom tražimo u oblikuH m (x) = L n (x) + ω n (x)H m−n (x),gde jeL n Lagrangeov polinom n-tog stepena, formiran na osnovu podataka (x k , y k )(k = 0, 1, . . . , n) iDiferenciranjem dobijamoω n (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x n ).H ′ m(x) = L ′ n(x) + ω ′ n(x)H m−n (x) + ω n (x)H ′ m−n(x),pa je, na osnovu interpolacionog zahteva,y ′ i = L ′ n(x i ) + ω ′ n(x i )H m−n (x i ),iH m−n (x i ) = y′ i − L′ n(x i )ω n(x ′ .i )