Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

112 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI5.1.10. Neka jednačina f(x) = 0 ima koren x = a višestrukosti p i nekase za njegovo odred¯ivanje koristi iterativni proces(1) x k+1 = x k − qf(x k )f ′ (x k ) − g(x k )(k = 0,1,... ),gde jeg(x) = f(x)f ′′ (x)f ′ (x)Pri proizvoljnom p odrediti red konvergencije ovog procesa za q = 1. Šta jesa redom konvergencije kada je p = 1 i q = 1/2?jeRešenje. Umesto jednačine f(x) = 0, posmatrajmo jednačinu F(x) = 0, gdeF(x) = f(x)f ′ (x) ,koja sada ima prost koren za x = a. Za odred¯ivanje ovog korena primenimoNewtonov metodx k+1 = x k − F(x k)F ′ (x k ) ,tj.(2) x k+1 = x k −gde jef(x k )f ′ (x k ) − g(x k ) ,g(x) = f(x)f ′′ (x)f ′ (x)Proces (1), za q = 1, poklapa se sa (2) što znači da ima red konvergencijenajmanje dva, za neko p = 1, 2, . . . .Razmotrimo sada slučaj kada je p = 1 i q = 1/2. U tom slučaju iterativnafunkcija procesa (1) glasiϕ(x) = x − 1 2 ·f(x)f ′ (x) − g(x) ...S obzirom da je ϕ(a) = a i ϕ ′ (a) = 1 −2 1 = 1 2linearnom konvergencijom.≠ 0 , zaključujemo da je proces sa5.1.11. Za odred¯ivanje prostog korena x = a, izolovanog na segmentu[α,β], jednačine f(x) = 0, dat je iterativni procesx k+1 = ψ(x k ) (k = 0,1,... ),